基于格林函数快速多极子法的异质材料微力学场高效计算新方法

本文针对异质材料微力学场计算中传统方法对规则网格和周期性边界条件的依赖问题，提出了一种结合快速多极子法（FMM）与快速傅里叶变换（FFT）的格林函数数值方法。研究人员通过将计算域离散为四面体单元，并利用FMM-FFT加速离散卷积计算，实现了对非周期边界条件和复杂几何形状的灵活处理。该方法在弹性球形夹杂和弹塑性多晶材料等算例中得到了验证，与解析解和传统FFT方法结果吻合良好，且能有效模拟含微裂纹多晶体的等效弹性性能，为复杂微结构力学分析提供了新工具。

　　

在材料科学与工程领域，精确预测异质材料（如复合材料、多晶金属等）在外部载荷下的微观应力应变场，对于理解材料性能、设计新型材料至关重要。传统的数值方法，如基于快速傅里叶变换（FFT）的均匀化方法，虽然在处理周期性微结构和边界条件时表现出色，但其对规则网格的依赖限制了其在复杂几何形状（如弯曲界面、裂纹）和非周期性边界条件问题中的应用。此外，尽管自洽聚类方法允许更灵活的离散化，但其计算效率较低，难以处理大规模问题。因此，开发一种既能灵活离散计算域、又能高效处理非周期边界条件的数值方法，成为计算力学领域一个亟待解决的问题。

在此背景下，发表于《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》的论文《A Green’s function fast multipole method for computation of micromechanical fields in heterogeneous materials》提出了一种创新的解决方案。该研究由洛斯阿拉莫斯国家实验室的Miroslav Zecevic完成，旨在将快速多极子法这一高效计算工具引入到固体力学的格林函数方法中，以克服现有方法的局限性。

为了开展研究，作者主要采用了几个关键技术方法：首先，建立了基于无限域弹性格林函数的积分方程来描述异质弹性体的边值问题，并通过引入参考均匀介质和极化场将问题线性化。其次，将计算域离散为灵活的四面体单元网格，并利用高斯积分将连续的积分方程转化为离散求和形式。核心创新点在于，采用单层快速多极子法（FMM）来加速计算离散卷积中的远场相互作用，其中近场相互作用直接计算，而远场相互作用则通过泰勒展开进行近似，并进一步利用FFT算法来加速FMM中“出射展开”到“入射展开”的转换步骤，从而构建了FMM-FFT混合算法。最后，采用增广拉格朗日迭代算法来求解隐含位移梯度的非线性系统方程。

模型建立：积分方程与离散化

研究人员从线弹性力学的基本方程出发，考虑了位移边界条件下的异质体平衡问题。通过应力分解和引入参考均匀介质的刚度，将问题转化为求解一个与极化场（表征材料非均匀性）相关的积分方程。该方程利用无限弹性介质的格林函数及其梯度来表达位移场。为了进行数值计算，研究团队将域离散为四面体单元，并假设每个单元内的位移梯度为常数。通过散度定理和高斯积分，将面积分和体积分转化为在单元边中点（积分点）处的求和运算。最终，需要计算的位移梯度表达为近场贡献和远场贡献之和。

近场与远场计算策略

计算的关键在于高效处理离散卷积。研究将域划分为规则的盒子网格，对于每个积分点，其与邻近盒子内单元的相互作用（近场）通过直接求和精确计算。这部分计算涉及奇异积分（当积分点靠近或位于积分面上时），作者采用了Lachat-Watson等正则化变换技术来保证精度。对于远离积分点的盒子（远场），其相互作用则通过FMM进行近似。在FMM中，远场盒子对目标点的效应通过泰勒展开来近似，其系数（出射展开）由盒子内的力源决定，然后通过FFT加速的转换过程，得到目标点所在盒子的效应（入射展开）。这种FMM-FFT混合方法将远场求和的计算复杂度显著降低。

算法实现与材料本构

研究详细描述了卷积计算的算法流程，包括近场求和、出射展开计算、FFT加速的入射展开计算以及最终位移梯度的合成。算法采用Fortran 90实现，并利用OpenMP进行并行化。在材料模型方面，论文考虑了线弹性行为和晶体弹塑性行为。弹塑性模型基于晶体塑性理论，塑性变形由位错在滑移系上的滑移引起，采用率相关的幂律流动法则来描述。

验证与对比分析

为了验证所提方法的正确性，研究人员首先将其应用于一个具有解析解的经典问题：无限大基质中球形弹性夹杂在特征应变作用下的响应。通过对比FMM-FFT方法、直接卷积计算和解析解的结果，发现随着泰勒展开阶数的增加（例如4阶），FMM-FFT的解与直接卷积解和解析解高度吻合，证明了方法的准确性。网格收敛性分析表明，应变场的L²范数误差随单元尺寸的减小而收敛，收敛速率在1.2至1.9之间，略低于某些FFT基方法，这主要归因于所采用的高斯积分规则。

计算效率评估

在计算效率方面，作者将FMM-FFT方法与一种非周期FFT（NP-FFT）方法进行了对比。结果表明，对于非周期卷积计算，FMM-FFT的速度约为NP-FFT的1/4到1/5。计算时间主要消耗在近场求和的直接计算上。分析显示，当保持每个盒子内的平均单元数恒定（如10个）时，总计算时间随单元数量近似线性增长，这对于大规模计算是有利的。作者指出，通过实现更高效的多层FMM（ML-FMM）有望进一步提升计算速度。

弹塑性多晶模拟

研究进一步将方法应用于更复杂的弹塑性多晶铜的变形模拟。结果发现，FMM-FFT预测的冯米塞斯应力场和塑性应变场与NP-FFT方法的结果在分布和峰值位置上总体相似。然而，在模拟接近不可压缩的塑性变形时，FMM-FFT方法出现了类似有限元法中一阶四面体单元的体积锁死现象，表现为静水压力场的非物理振荡。为此，作者引入了一种改进的假定应变方法，通过迭代平均单元及其邻域的静水应变分量，有效消除了压力场的振荡，获得了与NP-FFT方法一致的静水压力分布和宏观应力-应变响应。

微裂纹多晶锆的有效性能预测

最后，研究展示了该方法在处理极端材料对比和复杂几何方面的优势，模拟了含随机分布晶间微裂纹的多晶锆的有效弹性性能。通过变化裂纹厚度，计算了等效剪切模量和体积模量随裂纹厚度的变化关系。结果表明，随着裂纹厚度增加，材料的等效模量近似线性衰减。该方法能够灵活地对薄裂纹进行精确的网格划分，克服了传统FFT方法中因体素化表示而对裂纹厚度和形状的限制。

综上所述，该项研究成功开发了一种基于FMM-FFT的格林函数数值方法，实现了对异质材料微力学场的高效且灵活的计算。该方法的主要意义在于其突破了传统FFT方法对规则网格和周期性的依赖，能够处理复杂的几何形状（如裂纹）和非周期边界条件，为模拟真实材料的微观力学行为提供了强有力的工具。尽管在计算效率上目前略低于高度优化的FFT方法，且对不可压缩材料需要特殊处理，但其灵活的离散化能力和处理非周期问题的优势，使其在计算固体力学领域具有广阔的应用前景，特别是在涉及损伤、断裂等复杂微观结构的力学分析中。未来的工作可以集中在开发更高效的多层FMM、探索其他单元类型以及优化边界条件施加方法等方面。