基于梯度增强高斯预测器的拉伸型超弹性电机械本构建模方法及其层次结构发现研究

本文针对软智能材料在电刺激下复杂非线性响应的建模难题，研究团队开展了基于梯度增强高斯过程回归（GPR）的电机械本构超模型研究。通过结合主拉伸量（各向同性力学）和各向异性不变量，并利用正交投影识别材料各向异性类型，成功开发出高精度本构模型。该模型在有限元框架中验证良好，可准确模拟弯曲致动器、屈曲板等复杂变形，为软体机器人和智能材料设计提供了高效可靠的建模工具。

　　

在软体机器人和智能材料迅猛发展的今天，电活性聚合物（EAPs）因其独特的电致变形能力而备受关注。这类材料通常由夹在两个柔性导电电极层之间的软介电层构成，能够在电刺激下产生大幅形变，从而实现仿生驱动、人机交互等先进功能。然而，要充分发挥这些材料的潜力，研究人员面临着巨大挑战：一方面，为了获得更优异的性能，材料体系正朝着复杂复合材料方向发展，如层压板和包含物结构；另一方面，这些材料表现出高度非线性的力学响应，传统基于预定义框架的本构模型难以准确捕捉其复杂行为。

随着材料复杂度的不断提升，传统的模型拟合技术——通过将实验数据直接拟合到现有框架进行均质化——已无法维持足够的精度。在这种背景下，越来越多的研究者开始寻求机器学习（ML）的帮助。在众多ML技术中，神经网络（NNs）最为常用，但高斯过程回归（GPR）因其概率基础而具有独特优势，能够提供预测不确定性估计，这对于误差估计和填充策略至关重要。

在这项发表于《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》的研究中，Nathan Ellmer等研究人员提出了一种创新的方法，通过梯度增强高斯预测器（Kriging）开发电机械本构超模型。他们采用主拉伸量描述各向同性力学行为，不变量描述静电学和耦合项，并通过包含各向异性不变量的完整性基来考虑材料各向异性。

研究团队开发了三个关键创新：首先，利用正交投影识别最适合超模型使用的各向异性相关输入集；其次，采用混合表述（主拉伸量用于各向同性力学，电机械各向异性不变量），在投影过程中减少投影矩阵奇异的情况；第三，将校准后的电机械超模型集成到有限元框架中，并在多种挑战性模拟中进行测试。

为开展研究，团队主要采用了以下关键技术方法：基于同心采样策略生成合成数据；开发层次结构发现程序，通过正交投影识别材料对称群；构建梯度增强Kriging超模型，利用径向基函数（RBF）作为相关函数；采用自适应填充策略优化数据集；通过有限元法（FEM）验证模型性能，包括使用代表性体积元（RVE）进行多尺度均质化分析。

层次结构发现程序

研究人员提出了一种系统且代数基础扎实的程序，用于从数据中直接识别最合适的材料对称群和相应的最优结构张量。该方法基于线性代数工具，特别是正交投影。每个候选对称群都与一组不变量相关联，通过将本构量（第一Piola-Kirchhoff应力P和材料电场E₀）投影到这些对称群定义的子空间上，可以定量比较对称群之间的接近程度。对于包含球形和椭球形夹杂物的RVE配置，该程序成功识别出正交各向异性是最合适的材料对称群。

高斯过程预测

研究采用梯度增强Kriging方法开发本构超模型。输入集由主拉伸量和电机械不变量组成，输出为标量应变能密度U及其偏导数?_IiU，用于重建P和E₀。通过最大似然估计（MLE）技术获取模型参数，并使用boxmin算法优化超参数。该方法还扩展了处理噪声数据的能力，通过引入两个扰动项?₁和?₂来增强相关矩阵，使Kriging能够处理现实中的噪声数据集。

数值示例：超模型校准

研究展示了六种本构模型的校准结果，包括各向同性的Ogden（OG）和Mooney-Rivlin（MR）模型，以及各向异性的横向各向同性（TI）和三种不同形式的秩一层压板（ROL）。校准仅使用少量数据点（5-20个填充点），却实现了极高的精度。例如，Mooney-Rivlin模型在仅使用19个数据点校准时，电场误差低至2.75×10^-4。对于更具挑战性的RVE数据集，研究也展示了成功的校准结果，验证了该方法处理复杂材料响应的能力。

数值示例：3D模拟

通过一系列3D有限元数值示例，研究验证了Kriging本构超模型在各种材料模型和问题中的成功实现。示例包括各向同性复杂弯曲、横向各向同性复杂弯曲、各向同性褶皱、秩一层压板起皱以及RVE弯曲梁等。这些模拟展示了超模型在预测复杂变形模式方面的卓越性能，如弯曲致动器的扭曲变形、屈曲板的不同起皱模式等。误差分析表明，即使在最具挑战性的配置中，最大相对误差也保持在合理范围内（压力误差<3.6%，电位移误差<1%）。

本研究成功开发了一种基于梯度增强高斯预测器的电机械本构超模型框架，该框架结合了主拉伸量和不变量的优势，能够有效处理各向同性和各向异性材料响应。通过层次结构发现程序，研究人员实现了从数据中直接识别材料对称群的能力，这对于处理未知材料或具有复杂微观结构的材料尤为重要。研究展示的广泛数值示例验证了该方法的有效性和通用性，为软体机器人和智能材料设计提供了强有力的工具。该方法不仅减少了传统本构建模所需的分析工作，还为处理实验噪声和有限数据情况提供了可靠解决方案，标志着计算力学和材料建模领域的重要进展。