二维弹性体与Timoshenko梁混合维耦合分析：一种新型计算方法的提出与应用

本文针对二维弹性结构中细长区域计算成本高的问题，提出了一种将二维弹性动力学与Timoshenko梁理论耦合的混合维分析方法。研究人员推导了适当的界面条件，证明了时间依赖问题的适定性，并开发了一种基于特殊形状函数修改的新型计算耦合方法。该方法最终形成了对称、正定且稳定的有限元公式，数值算例验证了方案在波传播问题中的良好性能，为复杂结构高效计算提供了新途径。

　　

在工程结构分析中，飞机机身、桥梁等大型结构往往同时包含需要精细建模的复杂三维区域和表现为梁、板等简化行为的细长部件。若对整个结构进行全三维有限元分析，计算成本将极其高昂。如何将高维模型与低维模型有效耦合，构建既保证关键区域精度又显著提升计算效率的混合维模型，成为计算力学领域的一个重要挑战。特别是涉及弯曲波传播的动态问题，由于二维/三维弹性固体与一维梁模型在控制方程、自由度类型和色散特性上存在本质差异，其耦合设计尤为困难。发表在《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》上的这项研究，正是为了攻克这一难题。

本研究主要采用了理论分析、变分法推导和有限元数值模拟相结合的技术路线。关键方法包括：通过变分原理推导混合模型的界面耦合条件；提出一种通过修改二维区域界面处轴向自由度形状函数以引入并保证转角连续性的新型计算耦合策略；利用能量法证明混合时间依赖问题的适定性；以及构建对称、正定的有限元离散系统并结合Newmark时间积分法进行数值求解。

2. 问题陈述

研究考虑一个二维弹性域Ω，其中一部分区域Ω?₁是长细比的，其弯曲行为近似于一维Timoshenko梁。为节省计算量，将该区域降维为一个真正的一维Timoshenko梁域Ω₁，其余部分Ω₂则保持二维弹性动力学方程，从而形成混合的2D-1D模型。关键在于推导并施加连接两个子区域的界面耦合条件。

3. 连续层面的界面条件

通过最小化势能泛函，并应用变分原理，推导出四个界面条件。两个运动学条件要求界面处横向位移连续以及轴向位移满足Timoshenko梁的平截面假定。两个自然条件分别表示弯曲力矩的连续性和梁的剪应力与二维界面平均剪力的平衡。

4. 时间依赖问题的适定性

通过定义混合系统的总能量泛函，并计算其时间导数，结合推导出的界面条件，证明了系统能量守恒。由此推导出稳定性估计，证明了混合问题的解是唯一且稳定的。

5. 耦合方法

提出了一种新的有限元计算耦合方法。核心创新在于：通过Timoshenko梁的运动学假定，将二维界面节点的轴向位移用节点的转角自由度来表示，从而修改了相应的形状函数。这使得二维界面节点也具有了转角自由度，进而可以像处理横向位移连续一样，强施加转角连续性。该方法最终得到一个对称、正定的有限元系统。

6. 计算方面

给出了完整的有限元列式，包括二维弹性单元和Timoshenko梁单元的质量矩阵、刚度矩阵和载荷向量的计算公式。采用Newmark梯形法则进行时间离散，并讨论了半离散和全离散系统的稳定性。

7. 数值算例

通过静态加载、阶跃加载、脉冲加载和振荡加载等多个算例，验证了所提耦合方法的准确性和稳定性。结果表明，当界面设置在远离二维特征显著的区域时，混合模型能很好地逼近全二维参考解，同时计算效率显著提升。研究也分析了界面位置对误差的影响，以及方法在高频载荷下因色散差异而面临的挑战。

该研究成功开发并验证了一种用于耦合二维弹性体和Timoshenko梁的新型混合维计算方法。该方法从变分原理出发严格推导界面条件，保证了模型的数学适定性。其核心的计算创新——通过修改形状函数引入并耦合转角自由度——概念清晰，易于实现，且能生成对称正定的数值格式，具有良好的数值稳定性。数值实验表明，该方法能有效处理包含弯曲波传播的复杂动态问题，在保持精度的同时大幅降低计算成本。这项工作为涉及不同维度模型耦合的复杂结构分析提供了重要的理论依据和实用工具，特别是在航空航天、土木工程等领域的动态响应分析中具有广阔的应用前景。研究指出的高频载荷下的色散误差问题，也为未来改进耦合方法指明了方向。