在几何非线性分析中，等几何MITC壳体

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：The isogeometric MITC shell in geometric nonlinear analysis

Yongzhen Mi, Institute of High Performance Computing (IHPC), Agency for Science, Technology and Research (A*STAR), 1 Fusionopolis Way, #16-16 Connexis, Singapore 138632, Republic of Singapore 摘要：本文将线性分析中提出的等几何MITC壳体公式扩展至几何非线性壳体分析，结合混合更新方案解决大变形问题。基于Reissner-Mindlin壳理论，通过混合插值技术缓解剪切和膜锁，并利用非均匀有理B样条（NURBS）和拉格朗日基函数混合构建应变场。数值结果表明，该框架能有效抑制锁紧效应，适用于复杂几何和边界条件，尤其在粗网格和曲率较大的壳体中表现优异，但高连续性可能导致新的锁紧形式，通过Bézier提取可缓解此问题。研究为几何非线性壳体分析提供了通用可靠的等几何框架。

　　### 一个关于几何非线性壳体分析的新型等几何MITC方法

本研究提出了一种新型的等几何MITC壳体分析方法，旨在解决几何非线性壳体问题中的剪切锁和膜锁问题。传统有限元分析（FEA）在处理壳体结构时，常常受到网格划分过程的限制，而等几何分析（IGA）通过使用光滑的B样条基函数，不仅提升了几何表示的精确性，还提高了数值计算的准确性。然而，传统的IGA方法在处理非线性变形时仍面临挑战，尤其是在细长壳体结构中，基函数的高连续性可能会抑制大变形，从而引入新的锁现象。因此，本文在原有线性等几何MITC壳体模型的基础上，引入了混合的非均匀有理B样条（NURBS）-拉格朗日插值策略，以解决这些非线性问题。此外，通过Bézier提取技术，该方法能够有效地降低元素间的连续性，从而避免因高连续性引起的锁现象。

### 等几何分析的背景与意义

等几何分析（IGA）最初由Hughes及其团队于2005年提出，旨在提升计算机辅助设计（CAD）与计算机辅助工程（CAE）之间的互操作性，减少传统FEA中的网格划分步骤。IGA的核心思想是使用CAD中用于几何表示的光滑B样条基函数，同时用于FEA中的物理场近似，从而实现精确的几何描述和数值计算。虽然最初IGA主要使用NURBS基函数，但近年来，它已扩展到一系列更先进的B样条技术，包括T样条、截断分层B样条（THB样条）、多项式样条在分层T网格上（PHT样条）以及近期发展的U样条。这些样条基函数可以通过Bézier提取技术无缝集成到现有的有限元框架中，仅需对形状函数子程序进行修改。

### 几何非线性壳体分析的挑战

在处理几何非线性壳体问题时，非线性变形会导致初始网格的扭曲，从而加剧剪切锁和膜锁问题。此外，局部现象如褶皱或皱纹的出现，可能会使迭代求解过程变得复杂。另一个关键问题是更新等几何RM壳体中的旋转自由度（DOF）。在传统FEA中，节点坐标系统被用于描述壳体的局部旋转，并在Newton-Raphson迭代过程中进行增量更新。然而，在等几何分析中，由于NURBS控制点的非插值特性，这种方法并不直接适用。尽管已有多种改进的更新方案，但它们通常涉及复杂的数学处理。最近的研究表明，增加B样条基函数的光滑性在非线性壳体分析中可能产生负面影响，因为高连续性会紧密耦合相邻元素，从而限制壳体的大变形能力，并影响局部特征的捕捉。

### 新型MITC壳体方法的构建

本研究的创新点在于引入了混合的插值策略来更新旋转DOF，结合了NURBS和拉格朗日基函数的优势。具体而言，拉格朗日基函数被用于构造插值向量，而NURBS基函数则用于几何描述。这种混合插值策略在保持高精度的同时，也提升了计算效率。通过这种方式，旋转DOF可以在不依赖复杂投影或变换的情况下被计算和更新。此外，这种方法还能避免由于NURBS基函数的高连续性而导致的非线性锁现象。

### 几何非线性壳体的表达与计算

在本研究中，壳体几何被描述为由独立的中面和方向向量组成。这种分离的表达方式使得壳体能够准确地模拟横向剪切变形，这是厚壳和中厚壳分析的关键。通过构建基于B样条的中面参数化表示，结合拉格朗日基函数对方向向量的插值，壳体的非线性变形被有效模拟。本文采用总拉格朗日（total Lagrangian）框架，通过牛顿-拉夫森（Newton-Raphson）迭代求解非线性问题。在构建假设应变场时，使用了拉格朗日基函数，这有助于减少元素间的耦合，并提升计算的稳定性。

### 基于Bézier提取的插值策略

Bézier提取技术被用于将非线性壳体分析中的插值策略与T样条和U样条相结合。通过将Bézier基函数与B样条基函数相联系，Bézier提取方法使得壳体分析能够适用于更广泛的几何形状和网格类型。在非线性分析中，拉格朗日基函数的使用能够有效避免由于NURBS基函数的高连续性所引起的非线性锁问题，同时还能保持刚度矩阵的稀疏性，提高计算效率。

### 非线性壳体的计算验证

为了验证该方法的有效性，本文通过一系列数值实验进行测试。其中包括经典壳体问题和复杂的几何非线性壳体问题，如薄壳的褶皱形成。实验结果显示，该方法在粗网格和严重扭曲的网格条件下仍然保持了高精度和良好的收敛性。此外，Bézier提取技术的引入使得该方法能够处理基于T样条和U样条的网格，从而提升了其适用性。

### 方法的局限性与未来研究方向

尽管本文的方法在几何非线性壳体分析中表现出色，但仍存在一些局限性。首先，MITC技术在非线性等几何壳体中的应用虽然得到了数值验证，但缺乏严格的数学基础。未来的研究将致力于在拉格朗日乘子框架下重新诠释该方法。其次，高连续性在等几何分析中引起的锁现象尚未完全理解，尚不清楚这是否构成一种新的锁机制，还是仅仅是膜锁的变种。最后，该方法需要与更多类似方法进行比较，以进一步验证其优势。这些问题将在未来的研究中得到解决。

### 总结

本文提出了一种新型的等几何MITC壳体分析方法，成功解决了几何非线性壳体问题中的剪切锁和膜锁现象。通过引入混合插值策略，该方法不仅提升了计算的稳定性，还增强了对复杂几何变形的捕捉能力。实验结果表明，该方法在不同网格类型和参数条件下均表现出良好的性能，具有广泛的应用前景。尽管存在一些局限性，但该方法为几何非线性壳体分析提供了一个通用且可靠的等几何框架，有望在未来的工程计算中发挥重要作用。