用于拟线性非单调椭圆型偏微分方程的线性化局部正交分解

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Linearized localized orthogonal decomposition for quasilinear nonmonotone elliptic PDE

非单调拟线性椭圆问题多尺度数值方法研究提出并分析了适用于空间多尺度系数的非单调拟线性椭圆问题的多尺度方法。基于局部正交分解（LOD）框架，采用Ka?anov型与Fréchet导数型两种线性化策略，构建了低维问题适应的空间。理论证明了误差最优收敛率，并验证了数值实验中不同线性化点和 oversampling 参数对收敛性能的影响。研究展示了方法在高异质材料中的有效性，为复杂非线性问题的数值模拟提供了新途径。

　　在科学研究和工程实践中，我们常常会遇到需要求解的偏微分方程（PDE）具有非线性和多尺度特性。这类问题在许多实际应用中出现，如地下水流动的静态理查德方程或现代复合材料的热传导问题。这些模型的非线性性质使得它们能够准确地描述材料在极端条件下的物理响应，如高温、高强度或大应力。此外，多尺度系数则用于表示材料的异质性，这种异质性在工程复合材料和自然环境中都存在。例如，在土壤结构中，导热性可能在极小的距离内发生显著变化。

在本研究中，我们提出了并分析了一种用于非单调准线性椭圆问题的多尺度方法，该问题具有空间多尺度系数。与传统的数值方法不同，我们提出的方法受到局部正交分解（LOD）方法的启发，不需要像周期性或尺度分离这样的结构假设，仅需对系数施加最小的正则性假设。通过解决局部子域上的线性细尺度问题，我们构造了一个多尺度空间，从而能够捕捉到问题中的细尺度行为。为了处理非线性，我们考虑了两种不同的线性化技术，并对两种技术进行了严格的正则性分析和收敛性估计。

首先，我们回顾了传统数值方法在处理具有高异质性的多尺度问题时的局限性。这些方法通常无法在非渐近范围内有效捕捉细尺度特征，因此需要极小的网格尺寸来达到满意的收敛率，这会导致计算成本极高。为了克服这一挑战，我们引入了数学均质化理论，该理论在极限情况下可以将原始多尺度问题替换为均质化问题，其系数仅在空间上缓慢变化。然而，对于非线性问题，特别是非单调型问题，均质化理论的应用较为有限。

为了在非线性问题中实现最优收敛率，我们借鉴了LOD方法的思想，将细尺度行为嵌入到粗网格的有限元空间中，从而构建出一个新的低维函数空间。该空间具有良好的逼近性质，并通过使用修正算子来实现。修正算子是在粗网格元素的小块上局部计算的，这一过程可以通过使用线性化技术来简化。

在本研究中，我们提出了两种线性化方法，分别是Kacanov型线性化和Fréchet导数线性化。Kacanov型线性化通过“冻结”非线性项在特定的线性化点上，从而构建线性修正问题。而Fréchet导数线性化则基于牛顿方法的思想，通过导数项来线性化非线性问题。这两种方法在构造修正算子时需要不同的处理方式，因此对误差分析的影响也不同。

我们讨论了两种线性化方法在修正问题中的应用，并展示了它们的收敛性。通过数值实验，我们验证了这些方法的有效性，并探讨了不同线性化点对收敛性的影响。我们发现，选择合适的线性化点对于提高方法的收敛性至关重要。特别是，当线性化点远离精确解时，线性化误差会显著影响收敛性。因此，我们建议使用迭代方法，以逐步改进线性化点的选择，从而提高方法的性能。

为了进一步分析误差，我们考虑了两种线性化方法的误差估计。我们证明了，通过选择合适的线性化点，可以达到最优的收敛率，同时线性化误差在数值实验中得到了验证。我们还讨论了不同线性化点对误差的影响，特别是当线性化点远离精确解时，方法可能无法达到预期的收敛性。

在数值实验部分，我们对两种线性化方法进行了详细的测试，并展示了它们在不同网格尺寸和线性化点下的收敛性。我们选择了两个不同的非线性模型，分别是指数模型和Van Genuchten模型，以验证我们的方法在不同情况下的适用性。实验结果表明，选择合适的线性化点对于提高方法的性能至关重要，而Kacanov型线性化和Fréchet导数线性化在不同情况下表现不同。

在理论分析部分，我们对两种线性化方法的误差进行了详细讨论，并证明了它们的收敛性。我们发现，对于非单调型问题，Kacanov型线性化和Fréchet导数线性化在不同的线性化点下表现出不同的收敛性。特别是，当线性化点远离精确解时，Fréchet导数线性化可能更敏感，而Kacanov型线性化则相对稳健。

我们还讨论了如何选择线性化点以确保方法的收敛性。我们指出，选择线性化点时需要考虑其与精确解的接近程度，以及如何通过迭代方法逐步改进线性化点的选择。这不仅提高了方法的性能，还展示了多尺度方法在实际应用中的潜力。

综上所述，我们提出了一种新的多尺度方法，用于解决非单调准线性椭圆问题。该方法基于LOD方法，并通过两种线性化技术来处理非线性。数值实验和理论分析表明，选择合适的线性化点对于提高方法的性能至关重要。通过迭代方法逐步改进线性化点的选择，可以显著提高方法的收敛性。这一研究不仅展示了多尺度方法在处理非单调问题中的有效性，还为未来的研究提供了新的思路和方法。