三维二阶超弹性Serendipity虚拟单元法：静动态分析创新与应用

本期推荐一项计算力学领域的重要突破。针对传统二阶虚拟单元法(VEM)因引入面矩和体矩自由度导致计算复杂度高的问题，研究团队开发了三维二阶Serendipity VEM(S-VEM)，通过消除额外自由度显著提升计算效率。该方法首次应用于超弹性材料的静动态分析，支持多面体网格离散，并实现与二阶Serendipity有限元法(FEM)的混合模拟，为复杂几何结构的高效计算提供了新方案。

　　

在工程和生物医学领域，如软体机器人、弹性体和生物组织等应用中，超弹性材料的精确力学行为模拟至关重要。传统有限元法(FEM)在处理大变形时易出现网格畸变，导致精度下降或数值不稳定。虽然无网格方法如光滑粒子流体动力学(SPH)可缓解此问题，但自身也存在数值不稳定性。虚拟单元法(VEM)作为FEM的现代推广，允许使用任意多面体网格，在保持优异数值稳定性的同时提供网格设计的极大灵活性。然而，现有三维VEM大多基于一阶格式(k=1)，在精度和收敛速度方面存在局限，特别是对于不可压缩问题或弯曲主导问题。二阶VEM虽能显著提升精度，但需引入面矩和体矩作为额外自由度，大幅增加计算成本和实现复杂度。

为突破这一瓶颈，本研究团队在《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》上发表了创新性研究成果，开发了三维二阶Serendipity虚拟单元法(S-VEM)，用于超弹性材料的静动态分析。该方法通过构造Serendipity元消除表面和体内的矩自由度，在保持二阶精度的同时显著降低自由度数量。研究还结合先进的网格生成技术，实现了二阶Serendipity VEM与FEM的混合模拟，有效处理复杂几何结构。

研究采用的关键技术方法包括：基于投影算子的VEM框架，将未知基函数投影到多项式空间；Serendipity投影算子构造，避免额外矩自由度；非线性连续力学框架下的增量格式；Newmark方法进行动态问题时间积分；以及基于修剪六面体(TH)网格和VoroCrust算法的混合网格生成技术。

2. Equations of elastic mechanics

研究首先建立了超弹性力学的基本方程，包括运动描述、变形梯度F、Green-Lagrange应变张量E和平衡方程。采用可压缩Non-Hookean材料模型，推导了第二Piola-Kirchhoff应力张量S和本构张量D。通过哈密顿作用原理得到动态问题的弱形式，为后续离散化提供理论基础。

3. Virtual element method

详细介绍了传统VEM框架，包括多面体单元定义、局部虚拟单元空间构造和投影算子计算。重点说明了二阶VEM(k=2)需要引入面矩和体矩自由度，导致自由度数量显著增加的问题。

4. Serendipity virtual element method

提出了创新的Serendipity VEM方法。通过在面上构造Serendipity投影算子，仅使用边界自由度进行计算。针对多面体单元，定义了边界空间和局部虚拟空间，成功消除了面矩自由度。研究还探讨了保留体矩和完全消除体矩两种格式的自由度分布差异。

5. Serendipity virtual element method for hyperelasticity

将S-VEM应用于超弹性问题，推导了离散格式。通过投影算子将位移场分解为多项式部分和稳定部分，构建了切线刚度矩阵和内力矢量。采用基于材料参数的可调稳定化参数，保证数值稳定性。

6. Dynamic problem

扩展S-VEM到动态超弹性问题，建立了质量矩阵和动力平衡方程。采用Newmark隐式时间积分方法，详细给出了位移、速度和加速度的更新公式。

7. VEM-FEM hybrid formats

提出了VEM-FEM混合格式，利用修剪六面体网格生成技术处理复杂几何。内部使用六面体FEM，边界多面体区域采用S-VEM，通过消除面自由度实现二阶Serendipity VEM与Q20 FEM的自然耦合。

8. Numerical examples

通过Cook膜问题、块体压缩、柱体弯曲扭转、薄板弯曲和软材料混合格式等算例验证方法性能。结果表明S-VEM在保持精度的同时，比传统二阶VEM减少约35%自由度，与二阶FEM结果高度一致，有效处理了大变形和动态响应问题。

研究结论表明，三维二阶S-VEM成功解决了传统高阶VEM计算复杂度过高的问题，为超弹性材料静动态分析提供了高效精确的计算工具。方法支持任意多面体网格，便于复杂几何建模，其与FEM的混合格式进一步提升了工程适用性。这项工作开创了Serendipity VEM在非线性弹性问题中的首次应用，为先进材料计算建模开辟了新途径。未来研究方向包括扩展到近不可压缩材料、复杂多物理场耦合问题以及自适应策略探索。