三维磁电弹性多层壳结构的精确解：传感器与执行器配置的层间分析

《COMPOSITE STRUCTURES》：Three-dimensional static analysis of magneto-electro-elastic composite shells

本文提出一种三维精确层间模型（3D-u-?-ψ），用于分析含压电/压磁层的智能壳结构。该模型采用混合曲线坐标系，通过指数矩阵法求解控制方程，精确捕捉了磁-电-弹性耦合效应（MEE）、曲率效应和层间锯齿效应（zig-zag），为智能结构设计提供了高精度理论工具。

　　

研究背景与意义

智能结构在航空航天、生物医学和能源领域具有广泛应用前景。磁电弹性材料能够实现电能、磁能和机械能之间的相互转换，为智能传感器和执行器提供了理想材料平台。多层壳结构通过组合不同性能的材料层，可优化整体性能。然而，由于磁-电-弹性多场耦合的复杂性，以及曲率和层间效应的影响，需要开发高精度的三维理论模型来准确预测这些结构的力学行为。

理论基础与控制方程

采用混合曲线正交坐标系（α,β,z）描述壳结构的几何形状，其中α和β为曲面上两个正交的曲线坐标，z为厚度方向坐标。对于圆柱壳，一个主曲率半径R_α为有限值，R_β为无穷大；对于球壳，两个主曲率半径R_α和R_β相等且为有限值。

本构方程考虑了弹性、压电、压磁、介电和磁导率的耦合效应。应力σ、电位移D和磁感应B与应变ε、电场E和磁场H的关系通过弹性系数C^k_ij、压电系数e^k_ij、压磁系数q^k_ij、介电系数ε^k_ij和磁导率μ^k_ij联系起来，其中上标k表示第k层材料。

三维控制方程包括平衡方程、高斯电方程和高斯磁方程：

平衡方程：σ_αα,α + σ_αβ,β + σ_αz,z + (2σ_αα/R_α + σ_αβ/R_β + σ_ββ/R_α) = 0

高斯电方程：D_α,α + D_β,β + D_z,z + (D_α/R_α + D_β/R_β) = 0

高斯磁方程：B_α,α + B_β,β + B_z,z + (B_α/R_α + B_β/R_β) = 0

解法与数值实现

采用Navier型谐函数形式满足简支边界条件：

u^k = U^k(z)cos(α?α)sin(β?β)

v^k = V^k(z)sin(α?α)cos(β?β)

w^k = W^k(z)sin(α?α)sin(β?β)

?^k = Φ^k(z)sin(α?α)sin(β?β)

ψ^k = Ψ^k(z)sin(α?α)sin(β?β)

其中α? = mπ/a，β? = nπ/b，m和n为半波数。

通过引入数学层概念，将每个物理层细分为多个数学层，确保在每个数学层内系数为常数。采用倍变量法将控制方程转化为一阶微分方程组，应用指数矩阵法求解：

X^j(h_j) = A^*jX^j(0) = [∑(A^j)ⁱh_jⁱ/i!]X^j(0)

层间连续条件包括位移、电势、磁势的协调连续性，以及横向正应力、横向剪应力、横向电位移和横向磁感应的平衡连续性。

验证案例与分析

通过四个验证案例证明了模型的准确性：第一个案例比较了3D-u-?-ψ模型与3D-u-?（电弹性）和3D-u-ψ（磁弹性）模型的结果；第二个案例验证了球壳面板在传感器和执行器配置下的响应；第三个案例考察了圆柱壳面板的磁电弹性行为；第四个案例分析了多层球壳的磁弹性响应。所有验证结果与参考文献高度一致，相对误差小于2%。

新案例研究

提出了三个新案例，结构层序均为自适应木材/0°/90°/0°/自适应木材，每层自适应木材厚度为0.05h，复合材料层厚度为0.3h。

第一个案例为圆柱壳，几何参数：a = 2πR_α，b = 10 m，R_α = 10 m，R_β = ∞。传感器配置下，施加P_zt = 10000 Pa，P_zb = 0 Pa；执行器配置下，施加Φ_t = 10 V，Φ_b = 0 V，Ψ_t = 15 A，Ψ_b = 0 A。结果显示，在传感器配置中，位移w、电位移D_z和磁感应B_z随厚度比R_α/h增加而增大；在执行器配置中，不同变量对厚度变化的响应各不相同。

第二个案例为圆柱壳面板，几何参数：a = πR_α/3，b = 10 m，R_α = 10 m，R_β = ∞。结果同样显示了厚度比对结构响应的显著影响，以及层间锯齿效应的明显表现。

第三个案例为球壳面板，几何参数：a = πR_α/3，b = πR_β/3，R_α = R_β = 10 m。传感器配置下，位移w随厚度比增加而增大；执行器配置下，电势?没有明显增加趋势，而位移w和磁势ψ略有增加。图形结果清晰显示了层间锯齿效应和变量沿厚度方向的连续性与平衡条件。

结论与展望

开发的3D-u-?-ψ模型能够准确分析多层智能壳结构在传感器和执行器配置下的磁-电-弹性耦合行为。模型充分考虑了曲率效应、材料层效应、厚度层效应和多场耦合效应，通过层间方法准确捕捉了锯齿效应。验证案例证明了模型的高精度，新案例提供了不同几何形状和厚度比下的详细响应数据。

未来工作将考虑本构方程中的材料和几何非线性，以及开发完全耦合的热-电-磁-弹性三维壳模型，通过加入三维傅里叶热传导方程实现更全面的多物理场分析。该模型为智能结构的设计和优化提供了强有力的理论工具，在航空航天、机械工程和生物医学设备等领域具有广泛应用前景。