非线性碰撞破碎方程求解的混合迭代方案：Elzaki投影微分变换法及其应用

本文推荐一种结合Elzaki积分变换(EIT)与投影微分变换法(PDTM)的混合迭代方案(EPDTM)，用于求解非线性碰撞破碎方程(CBE)。该方法无需离散化或线性化即可直接处理非线性问题，并通过收敛性分析和误差估计验证了其高精度与可靠性。数值模拟表明，该算法能以较少项数对颗粒数密度函数及矩(Nk)进行长时间高精度逼近，为种群平衡建模提供了高效解决方案。

　　

Section snippets (章节选段)

Elzaki Integral Transform (EIT) (Elzaki积分变换)

与传统拉普拉斯变换和Sumudu变换相比，EIT具有多种优势。 notably，它保持了量纲一致性，能处理更广泛的函数类，并且在复杂域中简化了逆变换。虽然拉普拉斯变换难以处理比指数增长更快的函数，而Sumudu变换对某些有理-指数形式有限制，但Elzaki的结构允许更有效地变换非线性积分-偏微分方程，例如方程(1.1)。

EPDTM for collisional-breakage equation (用于碰撞破碎方程的EPDTM)

让我们构建EPDTM的数学框架来求解CBE (1.1)。对方程(1.1)两边应用EIT并利用其性质，我们得到：

(1/q) E[w(n, τ)] - q w(n, 0) = E[ ∫₀^∞∫_n^∞ μ(?, ρ) α(n, ?, ρ) f₁(w) d? dρ - ∫₀^∞ μ(n, ?) f₂(w) d? ]，

其中 f₁(w) = w(?, τ) w(ρ, τ) 和 f₂(w) = w(n, τ) w(?, τ) 是非线性部分。对上述方程应用EIT逆变换得到：

w(n, τ) = w(n, 0) + E^-1[ q E[ ∫₀^∞∫_n^∞ μ(?, ρ) α(n, ?, ρ) f₁(w) d? dρ - ∫₀^∞ μ(n, ?) f₂(w) d? ] ]。

在后续阶段，PDTM现在被引入。

Numerical simulations (数值模拟)

在本节中，我们利用EPDTM来处理具有不同破碎分布函数、碰撞核和初始分布的非线性CBE。为了强调我们方案的原创性，我们通过误差表和图表将我们的解与现有的解析解（当可用时）进行比较。对于无法获得精确解的情况，我们将EPDTM得到的结果与文献[40]中讨论的有限体积法(FVM)得到的结果进行比较。值得注意的是，FVM是一种成熟的数值方法。

Conclusion (结论)

本文通过展示EPDTM在求解碰撞破碎种群平衡方程方面的有效性，标志着半解析方法领域的一个显著进展，即使在先前无法获得精确解的情况下也是如此。通过对七个不同测试案例（涵盖初始条件、破碎函数和碰撞核的变化）的全面分析，该研究强调了EPDTM在估计解方面的准确性和优越性。

CRediT authorship contribution statement (作者贡献声明)

Shweta: 撰写 – 审阅编辑，撰写 – 初稿，验证，软件，方法论，研究，形式分析，概念化。 Saddam Hussain: 撰写 – 审阅编辑，验证，软件，方法论，研究，形式分析，概念化。 Rajesh Kumar: 撰写 – 审阅编辑，可视化，监督，方法论，形式分析，概念化。

Declaration of competing interest (利益冲突声明)

作者声明不存在竞争性利益。

Acknowledgments (致谢)

第三作者Dr. Rajesh Kumar感谢印度科学与工程研究委员会(SERB), DST通过项目MTR/2021/000866提供的资助。