基于韦布尔雨滴谱分布的降雨动能特性测量方法及其在土壤侵蚀研究中的应用

为解决降雨侵蚀力（erosivity）难以直接测量的问题，研究人员基于韦布尔（Weibull）分布和雨滴动量分布，开发了一种通过测量降雨强度（I）、雨滴数量（N）和动量分布平均直径（m'(D)）来估算降雨动能（Pn）和动量（M）的新方法。该方法在意大利帕勒莫和西班牙El Teularet实验站验证显示，对Pn和M的估算误差分别低于7.5%和4%，为大规模监测降雨侵蚀力提供了可靠且低成本的技术方案。

　　

土壤是人类生存最重要的资源之一，然而全球范围内土壤退化问题日益严重，其主要原因正是土壤侵蚀。降雨是导致土壤颗粒分离和搬运的主要自然力量，但长期以来，降雨侵蚀力的直接测量设备并未普及，水文研究不得不依赖降雨强度（I）和深度等简易指标，通过经验公式估算降雨动能功率（P_n，单位J·m^?2·h^?1）以预测土壤流失。然而，众多研究表明，单纯依据降雨强度建立的P_n-I经验关系存在显著局限性，不同公式在相同雨强下给出的动能值差异很大，且这些关系往往具有地域特异性，无法通用。

究其根本，降雨动能不仅取决于雨强，还与雨型、气候及测量方法密切相关。雨滴谱分布（Drop Size Distribution, DSD）被广泛认为是表征降水特性、尤其是研究土壤侵蚀效应的更合适指标。通过DSD，我们不仅能了解降雨的组成结构，还可计算出降雨动能P_n和动量M（N·m^?2），从而准确评估降雨的能量特性，这对研究土壤结皮和侵蚀过程至关重要。

在雨滴谱的数学描述中，伽马分布（Gamma Distribution）是气象和土壤侵蚀领域最常用的解析形式。而韦布尔分布（Weibull Distribution）虽由瑞典物理学家韦布尔（Weibull）于1951年提出，并被应用于材料科学、工程、物理等多个领域，但在描述雨滴谱方面的应用却较少。Sekine和Lind（1982）首次将韦布尔分布用于计算降雨衰减，其形式为N(D)dD = N₀ (η/σ) (D/σ)^η-1 exp[-(D/σ)^η] dD，其中D为雨滴直径，N₀=1000 m^?3，η为形状参数，σ（cm）为尺度参数。

近年来，Assouline、Mualem及Carollo等团队开始探索韦布尔分布在水文领域的应用，特别是用于估算降雨动能。Carollo等（2024a）在西班牙El Teularet实验站使用光学雨滴谱仪（ODM 470，Eigenbrodt）验证了韦布尔分布重现实测DSD的可靠性，并提出了基于该分布计算动能功率的理论方法。然而，传统雨滴谱仪（disdrometer）成本高、数据量大、难以远程管理，且估算降雨侵蚀力存在不确定性，不适用于大范围监测。

在此背景下，一项创新性的测量设备与方法应运而生（意大利专利，申请号102018000010691）。该设备通过在雨量计上加装一个 collar，内置四个传感器，用于计数雨滴撞击产生的脉冲数N，同时测量降雨强度I。该方法简单、成本低，且可与现有雨量计整合。为了进一步提高其测量可靠性，Carollo等（2024b）提出了新的理论分析思路，其核心假设是：降雨动量分布M(D)dD与特定压电传感器检测到的电信号分布相同。因此，通过测量I、N以及由M(D)dD推导出的平均直径m(D)或标准差s(D)，即可估算出Ulbrich分布中的形状参数μ和尺度参数Λ，进而重现DSD并计算P_n和M。

本研究在此前工作基础上，进一步探索了利用韦布尔分布和降雨动量分布测量降雨动能和动量的理论方法。具体而言，研究人员提出了一种通过测量N、I以及由动量分布推导的平均直径来估算韦布尔参数、P_n和M的新理论流程。研究旨在验证：基于降雨动量分布的该方法，其可靠性是否独立于所应用的理论DSD分布（即无论是用韦布尔分布还是Ulbrich分布），从而为降雨能量特性的大规模监测提供坚实理论基础。

本研究主要依托安装在意大利帕勒莫（Palermo）和西班牙El Teularet两个实验站的同型号光学雨滴谱仪（Eigenbrodt ODM 470）所采集的雨滴谱数据。帕勒莫站位于巴勒莫大学农业、食品和森林科学系内，海拔40米，属于地中海气候（柯本气候分类Csa型），年均降雨量654毫米。El Teularet站位于西班牙瓦伦西亚西南的Sierra de Enguera，海拔760米，同属典型地中海气候，夏季干旱，年均降雨量约479-590毫米。雨滴谱仪在监测到降雨（90秒内至少5滴雨）后自动启动，每分钟记录一次直径在0.05-0.6 cm范围内的雨滴，并将其划分为128个尺寸等级。研究最终筛选出雨强I ≥ 0.5 mm·h^?1且至少包含20个直径等级的DSD数据，其中帕勒莫站48,439条，El Teularet站5,585条。评估指标采用绝对误差（AE）、平均绝对误差（MAE）和平均相对误差（MRE）。

本研究的关键技术方法包括：1) 使用光学雨滴谱仪（disdrometer）在意大利帕勒莫和西班牙El Teularet两个地中海气候实验站实地采集高分辨率雨滴谱（DSD）数据；2) 基于韦布尔分布理论框架，推导出通过降雨强度（I）、雨滴总数（N）和动量分布平均直径（m'(D)）来估算其形状参数（η）和尺度参数（σ）的新方法；3) 利用估算的韦布尔参数，进一步计算降雨动能（P_n）和动量（M），并与实测值进行对比验证。

3.1. 基于韦布尔分布确定降雨动量的理论方法

降雨动量M (N m^?2)可通过积分计算：M = 10^?6 (ρπ/6) ∫₀^∞ V(D) D³ N(D) dD。其中V(D)为雨滴末速度。采用Atlas和Ulbrich (1977)的公式V(D) = 17.67 D^0.67 (m s^?1)，并结合韦布尔分布，最终推导出M的表达式为：M = 10^?6 (ρ/3.6) * 17.67 σ^0.67 [Γ(3.67/η + 1) / Γ(3/η + 1)] I。该式表明，降雨动量取决于降雨强度I以及韦布尔分布的形状参数η和尺度参数σ。

3.2. 通过动量分布的平均直径D_m和m(D)估算韦布尔参数

平均体积直径D_m (cm)是描述DSD的重要参数，其与I和N的关系为：D_m = [I / (N π/6)]^1/3。从韦布尔分布理论出发，可推导出D_m = σ [Γ(3/η + 1)]^1/3。另一方面，从降雨动量分布M(D)dD推导出的水滴直径均值m(D)与韦布尔参数的关系为：m(D) = σ [Γ(4.67/η + 1) / Γ(3.67/η + 1)]。将两式相除，得到比值D_m/m(D)仅与形状参数η有关，即D_m/m(D) = [Γ(3/η + 1)]^1/3 Γ(3.67/η + 1) / Γ(4.67/η + 1)。研究发现该比值在η于0.25至10之间是单调函数，因此可逆。据此，研究人员拟合了一个经验公式来反求η：η = 0.53 + tan[(D_m/m(D) - 0.15) / 0.5593]，该公式的平均绝对误差仅为1.8%。一旦由实测的I、N和m'(D)计算出D_m/m(D)并估算出η，尺度参数σ便可通过m(D) = m'(D)的等式求得。

3.3. 新方法在地中海地区的验证

研究人员利用两个实验站超过5.4万条DSD数据，验证了上述基于动量分布（Momentum Method, MM）估算韦布尔参数，并进而计算P_n（公式6）和M（公式11）的可靠性。结果表明，对于两个实验点，该方法对降雨动能P_n的估算略有高估（帕勒莫7.17%，El Teularet 6.16%），绝对误差（AE）小于10%的估算值比例分别为77.37%和88.98%。对降雨动量M的估算更为准确，平均相对误差（MRE）约为3.5%，且有超过95%的案例其AE小于10%。按降雨强度分级分析显示，对于帕勒莫站，当平均雨强I_mean > 20 mm h^?1时，估算误差显著降低（P_n的MAE平均为3.5%，M的为1.9%）。这表明该方法在较高雨强下，即侵蚀意义更重要的降雨事件中，表现更优。

本研究证实了基于韦布尔分布和降雨动量分布的理论方法能够可靠地估算降雨动能和动量。所提出的方法仅需测量三个变量：降雨强度I、雨滴数量N以及由动量分布推导的平均直径m'(D)。一旦据此成功估算出韦布尔参数η和σ，便可利用推导出的公式(6)和(11)准确计算P_n和M。更重要的是，该方法的可靠性似乎与所选择的理论DSD分布（韦布尔或Ulbrich）无关，凸显了其稳健性和普适性。

该研究成果对土壤侵蚀研究领域具有重要意义。它提供了一种概念新颖、操作简单且成本低廉的潜在解决方案，用于直接测量降雨的能量特性。目前广泛使用的雨滴谱仪因其成本、数据复杂性和估算不确定性而难以大规模部署。本研究中验证的理论方法为未来开发相应的专利设备（已申请）奠定了坚实基础。这种新设备有望像雨滴谱仪一样工作，同时能直接输出降雨侵蚀力关键参数，从而有望实现降雨侵蚀力的大范围、低成本监测，最终将显著提高土壤侵蚀模型的预测精度和可靠性，为全球土壤退化防治提供有力的数据支持和技术保障。论文发表于水文学权威期刊《Journal of Hydrology》。