基于Ostrowski方法的改进型高收敛阶非线性方程求解算法及其在复杂几何动力学中的应用

本文提出了一种基于经典Ostrowski四阶方法的新型三点迭代算法，通过加权牛顿校正步骤实现八阶最优收敛（满足Kung-Traub猜想），仅需四次函数求值即达到1.682的效率指数。该算法在噪声干扰测试中表现出卓越稳定性，并通过吸引盆图谱验证了其优于现有方法的全局收敛性能。

　　

亮点

基本定义

定义2.1（收敛阶）：若迭代序列{r_i}满足极限公式lim_i→∞ |r_i+1-r|/|r_i-r|^ρ = c（c≠0），则称其以ρ阶收敛至根r。当ρ=2时为二次收敛，ρ=3时为三次收敛，以此类推。误差项ε_i = r_i-r的演化规律可揭示算法的收敛动力学特性。

方法构建

我们设计了一种新颖的迭代策略，巧妙升级了Ostrowski四阶方法（公式2），通过引入三点评估框架实现八阶超收敛。新方法在保留低计算成本的前提下，像“数学显微镜”一样精准捕捉根的精确定位。

数值结果

通过对比Bi-Ren-Wu、Chun-Lee等经典八阶算法，新方法（NM）在多种非线性方程测试中展现出更高的精度与鲁棒性，尤其在噪声环境下的表现宛如“算法防抖相机”，显著提升计算稳定性。

复杂几何分析

借助复多项式吸引盆可视化技术，我们绘制出算法在复平面上的“收敛地图”。新方法的吸引盆边界更平滑、覆盖更广，像分形艺术般展现出优异的全局收敛特性，为复杂动力学研究提供直观工具。

结论与展望

本工作提出的八阶迭代法以“四两拨千斤”的计算效率突破传统局限，未来可拓展至生命科学中的动力学模型求解（如酶动力学参数拟合）、医学影像重建优化等跨学科场景。