通过局部和全局图学习方法从不完整的时变脑电图（EEG）数据中重建信号

《Digital Signal Processing》：Signal Reconstruction from Incomplete Time-Varying EEG via Local and Global Graph Learning

针对EEG信号噪声与缺失问题，提出结合局部与全局图学习的联合优化框架，开发SRL-ITV算法，在合成数据中NMSE降低27.3%，真实数据中SNR达17.43dB，优于基线方法。

　　在现代医学和神经科学的研究中，脑电图（Electroencephalography, EEG）作为一种非侵入式的记录方法，广泛用于分析大脑的电活动。EEG信号能够反映个体在睡眠、清醒状态以及各种认知过程（如注意力、记忆和决策）中的神经活动模式。然而，实际应用中，EEG信号的质量往往受到多种因素的影响，例如外部噪声（如肌电噪声和伪影）以及信号丢失等问题。这些问题可能导致信号不完整，从而严重影响信号分析的准确性。特别是在医疗诊断中，低质量的EEG信号可能阻碍对患者神经状态的正确判断，进而影响诊疗效果和效率。

因此，探索有效的EEG信号重建方法变得尤为重要。当前，已有多种方法被用于EEG信号的重建，其中包括基于最大似然（Maximum Likelihood, ML）的方法、鲁棒多通道重建（Robust Multichannel Reconstruction, RCLR）方法、交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM）方法、鲁棒小波变换（Robust Wavelet Transform, WT）方法、多样滤波器（Myriad Filter）方法以及独立成分分析（Independent Component Analysis, ICA）方法等。这些方法在一定程度上提高了EEG信号的重建质量，但在面对实际数据中的复杂情况时仍存在局限性。例如，某些方法对噪声水平敏感，当假设的代价函数或噪声模型与实际数据特征不匹配时，其性能可能显著下降。此外，RCLR方法在处理瞬态信号时表现有限，而WT方法则对小波基的选择高度依赖，不同的选择可能导致不同的重建结果。

更进一步地，这些传统方法通常未能充分利用EEG信号的内在结构，尤其是信号在不同通道之间的潜在依赖关系。近年来，基于图的方法因其在建模信号相互依赖关系方面的优势而受到越来越多的关注。图信号处理（Graph Signal Processing, GSP）作为一种新兴的信号处理范式，能够有效捕捉信号在图结构中的局部和全局连接特性。其核心优势在于，通过构建图结构，可以更精确地描述信号在不同节点之间的相关性，从而提升信号重建的准确性。EEG信号本身具有自然的图结构，每个电极可视为图中的一个节点，而节点之间的连接则由其空间邻近性决定。然而，大多数基于图的方法假设图结构是已知的，这在实际应用中并不总是成立。尤其是在数据不完整的情况下，如果不能准确地推断图结构，信号重建的质量可能会受到严重影响。

为了解决上述问题，本文提出了一种结合局部图学习和全局图学习的联合信号重建方法。该方法旨在更好地捕捉EEG信号在不同脑区的局部变化以及整体脑网络的交互关系，从而提升信号重建的时空精度。具体而言，局部图学习用于建模特定脑区内的信号平滑性，而全局图学习则通过考虑不同脑区之间的相互作用来构建整体的图结构。为了实现这一目标，本文引入了一种多尺度图结构，使得模型能够同时处理局部和全局的信号依赖关系。此外，本文还提出了基于谱正则化的策略，以提高模型的稳定性和可解释性。

在算法设计方面，本文提出了一种名为SRL-ITV的高效算法，该算法基于块多凸优化策略，能够有效地解决联合图学习和信号重建问题。SRL-ITV算法将联合估计问题分解为两个子问题，分别利用ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）进行求解，并对每个子问题的解的唯一性进行了理论证明。这种设计不仅提高了计算效率，还确保了模型在不同数据条件下的一致性和稳定性。

为了验证所提方法的有效性，本文在合成数据和真实数据上进行了大量实验。在合成数据中，SRL-ITV方法相较于GL-SigRep方法，将归一化均方误差（Normalized Mean Square Error, NMSE）降低了27.3%。而在真实数据集MODMA（Multichannel EEG for Deep Learning in Medical Applications）上，SRL-ITV方法实现了17.43 dB的信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），并且在所有基线方法中具有最低的重建误差。这些实验结果表明，SRL-ITV方法在信号重建和图学习任务中均表现出色，具有较高的准确性和鲁棒性。

本文的主要贡献包括三个方面：首先，提出了一种结合局部图学习和全局图学习的框架，能够更全面地建模EEG信号的时空特性；其次，引入了一种基于Katz中心性的全局图构建方法，该方法通过选择局部图中的代表性节点，并利用这些节点之间的欧几里得距离来构建全局图结构，从而增强了图的表达能力；最后，设计了一种联合优化算法SRL-ITV，该算法能够同时完成图学习和信号重建任务，并在理论上保证了每个子问题的解的唯一性。此外，本文还对方法的计算复杂度进行了分析，以评估其在实际应用中的可行性。

在方法的理论基础方面，本文对图信号处理的基本概念进行了回顾，包括图结构的定义、图信号的特性以及图正则化技术的应用。同时，本文还探讨了时间差异平滑性的概念，这对于理解EEG信号的动态变化具有重要意义。Katz中心性作为一种衡量节点在网络中重要性的指标，也被用于构建全局图结构，以反映不同脑区之间的相互作用。

在局部图和全局图的学习过程中，局部图主要关注特定脑区内的信号平滑性，通过分析相邻电极之间的信号变化来捕捉局部连接模式。而全局图则通过整合多个局部图的信息，构建一个更广泛的脑网络结构，从而更好地反映大脑整体的活动模式。这一过程不仅考虑了信号在局部区域的平滑性，还通过时间一致性约束确保了信号在全局尺度上的连贯性。

在信号重建任务中，本文提出了一种基于局部和全局图结构的联合优化框架。该框架将信号重建与图学习相结合，通过引入多尺度图结构和谱正则化策略，提高了模型的鲁棒性和可解释性。此外，本文还对算法的计算复杂度进行了分析，以评估其在大规模数据集上的应用潜力。

在实验部分，本文对合成数据和真实数据进行了系统性的评估。在合成数据上，SRL-ITV方法在多个指标上均优于现有的基线方法，如GL-SigRep。而在真实数据集MODMA上，SRL-ITV方法不仅实现了较高的信噪比，还取得了最低的重建误差。这些实验结果充分证明了所提方法在信号重建和图学习任务中的有效性。

本文的结构安排如下：首先，在第二部分中，介绍了图信号处理的基本概念和相关理论；其次，在第三部分中，详细阐述了局部图学习和全局图学习的理论基础；随后，在第四部分中，提出了基于局部和全局图学习的联合信号重建框架，包括问题建模、方法设计、算法实现以及计算复杂度分析；最后，在第五部分中，展示了实验结果，而在第六部分中，对本文的研究工作进行了总结。

为了便于读者理解，本文在附录中提供了所使用符号的总结表（Table 1）。这些符号涵盖了图结构、信号处理、优化算法等多个方面，有助于读者更清晰地理解方法的实现细节。

总的来说，本文提出了一种新的联合信号重建与图学习方法，能够有效应对EEG信号中的噪声和缺失问题。通过引入多尺度图结构和谱正则化策略，该方法不仅提高了信号重建的准确性，还增强了图结构的表达能力。此外，所设计的SRL-ITV算法在理论上保证了解的唯一性，并在实际应用中表现出优异的性能。这些成果为EEG信号的高质量分析提供了新的思路和方法，具有重要的理论和应用价值。