托勒密不等式衍生的几何不等式拓展及其在三角形几何中的创新应用

《The Mathematical Gazette》：Some extensions of a geometric inequality generated from Ptolemy’s inequality

本文由研究人员开展了一项关于从经典托勒密不等式出发的系统性几何不等式拓展研究。该研究深入探讨了三角形几何中各元素（如边长a, b, c、面积S、中线ma, mb, mc、角平分线la, lb, lc等）之间的新型不等式关系，为解决三角形几何中复杂关系的不等式证明问题提供了新的理论工具和统一框架，对推动几何不等式理论的发展具有重要意义。

　　

为了方便起见，在整篇文章中，我们将对任意三角形ABC使用标准符号表示，其中：

1. 1.
   边BC、CA、AB的长度分别用a、b、c表示。
2. 2.
   三角形的面积用S表示。
3. 3.
   三角形的半周长用s表示。
4. 4.
   三角形的外接圆半径（circumradius）和内切圆半径（inradius）分别用R和r表示。
5. 5.
   对应于顶点A、B、C的中线（medians）长度分别用m_a、m_b、m_c表示。
6. 6.
   对应于顶点A、B、C的角平分线（angle bisectors）长度分别用l_a、l_b、l_c表示。
7. 7.
   对应于顶点A、B、C的高线（altitudes）长度分别用h_a、h_b、h_c表示。