三角函数不等式的基本证明方法

《The Mathematical Gazette》：109.41 Elementary proofs of some trigonometric inequalities

剑桥大学出版社期刊发表的研究团队针对三角函数不等式证明方法复杂的问题，开展了初等证明方法的系统性研究。该研究通过构建几何模型与代数变换，建立了更简洁的证明体系，为数学教育提供了可操作性强的教学方案，显著降低了相关理论的教学门槛。

　　

本研究通过初等方法系统证明了若干三角函数不等式（trigonometric inequalities），采用单位圆（unit circle）几何直观与代数恒等变换相结合的策略。特别针对正弦函数（sin² θ）与余弦函数（cos_n）的幂次不等式，通过欧拉公式（Euler's formula）推导出具有最优常数的不等式链。研究过程中运用了均值不等式（AM-GM inequality）和柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）等工具，建立了适用于高中数学教学的证明框架。