脂膜动力学的任意拉格朗日-欧拉有限元方法：从管状结构形成到横向迁移的数值模拟突破

《Journal of Fluid Mechanics》：Arbitrary Lagrangian–Eulerian finite element method for lipid membranes

本研究针对脂膜在变形过程中网格运动控制的难题，提出了任意拉格朗日-欧拉有限元方法，通过引入网格速度满足用户指定的二维材料动力学方程，并采用拉格朗日乘子约束膜面与网格运动一致性。该方法成功模拟了从平面膜片提取膜管及其横向迁移的全过程，突破了传统拉格朗日和欧拉方法的局限，为生物膜动态过程研究提供了新工具。

　　

在细胞生物学中，脂质膜作为二维流体材料，其动态形变过程（如内吞作用和细胞迁移）的模拟一直面临计算挑战。传统拉格朗日方法因网格畸变难以模拟平面流动，而欧拉方法在管状结构形成等场景中易失效。德克萨斯大学奥斯汀分校的Amaresh Sahu团队在《Journal of Fluid Mechanics》发表研究，提出了基于任意拉格朗日-欧拉框架的有限元方法，通过将网格视为独立材料并约束其与膜面运动一致性，实现了膜管提取与迁移的高精度模拟。

关键技术方法包括：1）建立膜面参数化映射关系，定义膜速度v与网格速度v^m的动力学方程；2）采用Dohrmann-Bochev稳定法处理拉格朗日乘子引起的数值不稳定；3）通过B样条基函数离散曲面，结合牛顿-拉夫森法求解非线性系统。研究以膜管提取为基准案例，对比了拉格朗日、欧拉和ALE三种网格运动方案。

曲面几何与运动学建模

通过参数化域Ω到膜片??的映射，建立切平面基向量a_α?和曲率张量b_α?β?的几何描述。引入ALE运动学约束条件(v^m·n = v·n)，使网格可独立于脂质流动而运动。

质量守恒与数值稳定

基于面积不可压缩性（?_s·v = 0），采用拉格朗日乘子λ（表面张力）施加约束。通过将λ投影到分段线性不连续空间，抑制了LBB条件引起的数值振荡。

动量平衡与边界条件

耦合弯曲弹性（弯曲模量k_b、k_g）与粘性耗散（膜粘度ζ），推导出包含曲率-粘度耦合项的形变方程。边界条件涵盖力/速度约束（F_j或v_j）和弯矩/斜率约束（M或v_v）。

膜管提取动力学

在Γ=1024（F?ppl-von Kármán数）和SL=0.1（Scriven-Love数）条件下，ALE方法成功捕获了帐篷结构向柱状膜管（半径r_c=√(k_b/(2λ₀))）的形态转变。拉格朗日模拟出现张力伪影（λ_min=0.191k_b/r_c²），而ALE-vb方案获得平滑张力梯度（λ_min=0.249k_b/r_c²）。

膜管横向迁移

通过预设网格速度v^m=v_pe_x，实现膜管沿x方向平移。模拟显示迁移过程中表面张力分布稳定，证实ALE方法能解析非对称流动模式。

研究结论表明，ALE有限元方法通过自定义网格本构关系（如粘性-弯曲阻力），突破了传统方法在膜管迁移模拟中的局限性。该框架为囊泡运输、内质网动态等生物过程建模提供了通用计算平台，未来可扩展至多组分膜相分离、跨膜蛋白扩散等场景。