数学竞赛问题解析：整数解与几何性质的创新求解

《The Mathematical Gazette》：Student Problems

本期《The Mathematical Gazette》推荐阅读学生问题专栏的收官之作。由于期刊近期延迟送达导致投稿减少，以及编辑Agnes Bokanyi-Toth因工作压力卸任，本期成为该栏目的最后一次亮相。问题2025.1要求求解满足5a2+5b2+10c2+d2-4ab-4bc-6cd=4的所有互异正整数解，研究者通过巧妙的配方和分类讨论得出(a,b,c,d)为(1,3,5,14)、(1,3,5,16)、(1,3,7,20)、(1,3,7,22)和(2,4,8,24)。问题2025.2涉及三角形几何，通过构造圆??1和??2及引理证明A1E=A1D。这些研究展示了数学在数论和几何中的精妙应用，为竞赛数学提供了典型范例。

　　

在数学竞赛领域，学生问题专栏一直是激发年轻数学家兴趣的重要平台。然而，近年来由于期刊送达延迟和投稿期限紧张，参与度持续下降。加之专栏编辑Agnes Bokanyi-Toth因工作压力卸任，使得《The Mathematical Gazette》的学生问题专栏不得不迎来收官之作。这一背景凸显了数学传播中面临的现实挑战，也使得本期问题的求解更具特殊意义。

问题2025.1由S. N. Maitra提出，要求找到所有互异正整数解满足方程5a²+5b²+10c²+d²-4ab-4bc-6cd=4。这类丢番图方程在数论研究中具有重要意义，其求解需要巧妙的代数变形和分类讨论技巧。问题2025.2由Gerry Leversha提出，涉及三角形几何性质，要求证明关于中点弦长的等式，这需要深入理解圆的性质和几何变换。

为了求解这些问题，研究者采用了多种数学方法。对于数论问题，主要运用了配方法将原方程转化为平方和形式，然后通过整数范围的限制进行枚举讨论。对于几何问题，采用了反射变换构造对称点，运用正弦定理建立角度关系，并通过圆幂定理（ intersecting chords）完成证明。这些方法体现了竞赛数学中典型的代数与几何技巧的结合。

问题2025.1的求解

研究者首先将原方程重新配方为：(2a-b)²+(2b-c)²+(3c-d)²+a²=4。由于右边为4，且所有项均为平方数，得到a²≤4，故a只能取1或2。当a=1时，通过详细计算得到两组解：(1,3,5,14)、(1,3,5,16)和(1,3,7,20)、(1,3,7,22)。当a=2时，要求所有平方项为零，得到唯一解(2,4,8,24)。这些解均满足互异正整数的条件。

问题2025.2的证明

该几何问题涉及三角形ABC，其中A₁为BC中点。圆??₁过A₁且切AB于B，圆??₂过A₁且切AC于C，两圆再次相交于D。证明关键在于使用引理：弦AB的中点M，圆周上点X、Y满足MX=MY当且仅当∠AXB=∠AYB。通过反射变换和正弦定理证明该引理后，应用交替线段定理得到∠ABC=∠BDA和∠ACB=∠CDA₁，进而证明ABDC为循环四边形（cyclic）。最后令AA₁与外接圆交于E，由引理得A₁E=A₁D，再通过相交弦定理完成证明。

本研究通过精巧的代数变形和几何论证，成功解决了两个具有挑战性的数学问题。数论问题展示了如何通过配方将复杂方程转化为平方和形式，从而利用整数性质进行求解；几何问题则演示了如何通过构造辅助圆和运用几何变换来证明深刻的几何性质。这些成果不仅为数学竞赛提供了优秀范例，也展示了数学在不同领域中的内在联系和统一美。

论文发表在《The Mathematical Gazette》，该期刊由剑桥大学出版社出版，具有悠久的数学教育传统。本期问题的成功求解者中，Dylan Davies获得一等奖，Harvey Gregg获得二等奖，他们的工作为这一传统栏目画上了圆满的句号。尽管学生问题专栏即将结束，但这些数学问题的价值和解决过程中体现的数学思想将继续激励未来的数学爱好者。