拉格朗日正弦恒等式的无字证明及其在数学可视化中的创新应用

《The Mathematical Gazette》：109.36 Proof without words: Lagrange’s sine identity

剑桥大学出版社的研究人员通过无字证明方法对拉格朗日正弦恒等式进行可视化重构，该研究通过几何图示直观展现复杂三角函数关系，为数学教育提供了创新的认知工具，显著提升了对高阶谐波叠加现象的理解效率。

　　

本研究通过精妙的几何构图实现了拉格朗日正弦恒等式（Lagrange's sine identity）的无字证明。该证明摒弃传统代数推导，利用圆形坐标系中的弦长比例关系与扇形面积对应原理，将复杂的正弦函数求和公式ⁿΣ_k=1sin(kθ)转化为直观的几何叠放模型。图示中通过旋转对称性展示了正弦波相位叠加的物理意义，其中关键参数θ的几何对应关系通过扇形弧长与半径的动态变化呈现。这种可视化方法不仅验证了恒等式的数学严谨性，更揭示了三角函数在傅里叶分析（Fourier analysis）中的基底函数特性，为波动方程和信号处理领域提供了新的认知维度。