随机t-正则划分中部分数目的局部极限定理及其显式收敛率分析

《Bulletin of the Australian Mathematical Society》：THE NUMBER OF PARTS IN A RANDOM t -REGULAR PARTITION

为解决t-正则划分中部分数目的分布问题，研究人员通过生成函数、鞍点法及Euler-Maclaurin求和公式，证明了局部极限定理(LLT)和中心极限定理(CLT)，给出了显式收敛速率，深化了整数划分的概率性质研究，对组合数学与数论有重要意义。

　　

在组合数学和数论中，整数划分一直是一个充满魅力的研究领域。一个整数划分是将正整数n表示为一系列非增正整数序列，这些数字被称为部分(parts)。t-正则划分(t-regular partition)是指每个部分出现次数少于t的划分，其中t≥2为整数。当t=2时，即为著名的distinct partitions（互异划分），其算术性质与椭圆曲线L-函数的特殊值相关，近年来还在钩长偏差(hook length biases)研究中受到关注。对于一般的t，Hagis利用模变换和指数和估计给出了p_t(n)（即n的t-正则划分数）的Rademacher型公式，从而可直接推导渐近公式。从概率视角来看，Erdos和Lehner最早研究了互异划分中部分数目的分布，证明了其渐近正态性（即满足中心极限定理，CLT），随后Szekeres通过更精细的分析建立了局部极限定理（LLT）。对于t≥3的情形，Ralaivaosaona证明了CLT，但LLT一直未被解决。因此，本文旨在填补这一空白，为所有t≥2证明LLT，并提供显式收敛速率，从而深化对随机t-正则划分中部分数目分布的理解。

本研究发表于《Bulletin of the Australian Mathematical Society》，作者运用生成函数、鞍点法(saddle-point method)、Euler-Maclaurin求和公式及dilog函数性质，结合概率论中的连续性定理（Curtiss定理），分析了双变量生成函数G_t(w,z)=∑_m,n p_t(m,n)w^mzⁿ，其中p_t(m,n)表示n的具有m个部分的t-正则划分数。通过设定参数w=e^-α, z=e^-β，并求解鞍点方程，导出了渐近公式；利用样本队列为所有正整数n，无需实验数据，纯属理论分析。

主要研究结果如下：

定理1.1（CLT）

对于固定t≥2，随机变量Y_t(n)（表示均匀选择的t-正则划分中的部分数目）满足中心极限定理，即当n→∞时，(Y_t(n)-μ_t(n))/σ_t(n)收敛于标准正态分布N(0,1)，其中均值μ_t(n)=√n log t/C，方差σ²_t(n)=K√n，常数C和K由dilog函数给出：C²=Li₂(1)-∑_1≤k≤t-1 Li₂(e^2πik/t)，K=(log t)²/(2C²)+1/(2t²)∑_1≤k≤t-1 k(t-k)csc²(πk/t)。

例1.2（4-正则划分）

以t=4, n=1000为例，计算得μ₄(1000)≈31.2, σ₄(1000)≈3.6，并通过绘图展示p₄(m,1000)的分布与正态曲线拟合良好，直观验证了CLT。

定理1.3（LLT）

对于满足m=μ_t(n)+O(n^5/18)的m，有渐近公式p_t(m,n)~p_t(n)/(√(2πK√n)) exp(-ρ²/(2K√n))，其中ρ=m-μ_t(n)。这给出了局部概率的显式表达式，并表明质量函数近似于正态曲线。

推论1.4

作为定理1.3的直接应用，对于任意有界集X?R，当n→∞时，概率P((Y_t(n)-μ_t(n))/σ_t(n)∈X)趋近于正态分布在该集合上的质量，从而完成了LLT的证明。

研究结论表明，对于所有t≥2，t-正则划分中部分数目的分布不仅满足CLT，而且具有LLT性质，且收敛速率显式可计算。这统一并扩展了先前结果（如t=2时的Szekeres工作和t≥3时的Ralaivaosaona工作），为整数划分的概率理论提供了更完整的图景。讨论部分强调，该方法通过生成函数和解析组合技术，避免了复杂算术工具，突出了Euler-Maclaurin公式和dilog函数在处理无限乘积中的效用。重要意义在于为后续研究（如钩长分布或更高维划分）提供了分析框架，并可能在统计物理和随机过程领域找到应用。