p进域上Aut(C)×F4对偶对的局部theta对应与Spin(9)不变泛函的证明

《Forum of Mathematics, Sigma》：The dual pair $\mathrm {Aut}(C)\times F_{4}$ (p -adic case)

本研究针对p进域上例外李群对偶对的theta对应问题，通过计算最大抛物Jacquet模和Fourier-Jacobi函子，证明了Aut(C)×F4对偶对的局部theta对应关系，得出Spin(9)-不变线性泛函的 multiplicity one 结果，解决了长期悬而未决的Gelfand对问题，为相对Langlands程序提供了重要依据。

　　

在p进数域上的表示论研究中，例外李群的对偶对和theta对应一直是一个充满挑战而又引人入胜的领域。特别是对于形如Aut(C)×F₄的对偶对，其中C是维数为2或4的合成代数，其局部theta对应的性质长期以来未能完全明确。这类问题不仅涉及复杂的群表示结构，还与自守形式的提升、不变线性泛函的存在性等深刻课题紧密相关。更具体地说，在对称对(F₄, Spin(9))的情形下，是否构成Gelfand对（即在不可约表示上至多存在一个不变泛函）是一个悬而未决的问题，尽管在实数域上已有部分结果，但在p进域上的证明一直缺失。

为了解决这些问题，Edmund Karasiewicz和Gordan Savin在《Forum of Mathematics, Sigma》上发表了他们的研究成果。他们通过限制E型群的极小表示，并借助最大抛物子群的Jacquet模计算和Fourier-Jacobi函子，系统研究了p进域上对偶对Aut(C)×F₄的局部theta对应。研究发现，从Aut(C)到F₄的theta提升总是非零且具有有限长度，当表示是温和时提升不可约，并且实现了从F₄到Aut(C)提升的不可约性。特别地，当C是2×2矩阵代数时，Aut(C)=PGL₂(F)，他们完整描述了theta提升，并证明了Spin(9)-不变线性泛函的 multiplicity one 结果，从而确立了(F₄, Spin(9))是p进域上的Gelfand对。

研究采用了多种关键的技术方法：首先，利用极小表示的滤过结构计算了关于海森堡抛物子群的Jacquet模和扭曲Jacquet模；其次，应用Fourier-Jacobi函子将问题转化为经典对偶对O(3)×Sp(6)的theta对应；此外，还结合了退化主系列表示的结构理论和Howe对偶理论。这些方法的综合运用使得研究人员能够精确描述theta对应的性质。

Jacquet modules I

通过计算极小表示关于海森堡抛物子群的Jacquet模，研究人员得到了一个精确的滤过序列，其中关键部分由紧支撑函数空间和商模组成。这一计算揭示了表示在抛物子群作用下的分解行为，为后续的theta对应分析奠定了基础。

Lifting supercuspidal representations from Aut(C) to F₄

对于Aut(C)上的超尖表示τ，研究证明其theta提升Θ(τ)是不可约的。通过Fourier-Jacobi函子，将问题转化为Weil表示下的对应，并利用经典theta对应的已知结果，结合Jacquet模计算，确保了提升表示的不可约性和唯一性。

Jacquet modules II

当C是分裂四元数代数时，即Aut(C)=PGL₂(F)，研究人员进一步计算了关于Borel子群的Jacquet模。通过滤过结构和轨道分析，他们描述了表示在最大抛物子群下的行为，从而能够处理主系列表示的提升。

Lifting from PGL(2) to F₄

对于PGL₂(F)的主系列表示，研究显示其theta提升对应于F₄上从最大抛物子群诱导的退化主系列表示。具体地，不可约主系列提升为不可约表示，而可约情形（如平凡表示和Steinberg表示）的提升则对应退化主系列的特定子模或商模。超尖表示的提升则实现为显式诱导表示的唯一不可约商。

Lifting from F₄ to Aut(C)

从F₄到Aut(C)的theta提升也被证明是不可约的，且非零提升总存在。这通过对偶性和Jacquet模计算得以验证，确保了对应关系的对称性和良好定义。

Spin(9) distinguished representations of F₄

利用theta对应，研究人员将F₄表示的Spin(9)-不变泛函问题转化为PGL₂(F)上的Whittaker泛函问题，从而证明了 multiplicity one 结果。这意味着每个不可约表示至多有一个Spin(9)-不变泛函，且这样的表示恰好是从PGL₂(F)的通用表示提升而来。此外，超尖表示的提升是相对超尖的，即其矩阵系数在齐性空间上紧支撑。

Dual pair μ₂×F₄?E₆

对于维数为2的合成代数，对偶对为μ₂×F₄，研究同样证明了theta提升的不可约性和非平凡性，并通过与E₇情形的联系，给出了提升表示的具体实现。

研究结论表明，p进域上对偶对Aut(C)×F₄的theta对应具有良好性质：提升表示通常不可约，对应是单射的，且实现了对称对(F₄, Spin(9))的Gelfand对证明。这一工作不仅解决了表示论中的经典问题，而且为相对Langlands程序提供了重要证据，展示了theta对应在连接不同群表示中的强大力量。通过精确的Jacquet模计算和创新的函子方法，研究人员为例外群的局部对应理论奠定了坚实基础，未来可进一步探索提升的算术性质和整体应用。