基于Jacobi多分数项谱配点法的高阶分数阶导数误差估计研究

《Franklin Open》：Error estimates with spectral approximation for higher order fractional derivatives using Jacobi poly fractonomials spectral collocation method

本文提出了一种基于Jacobi多分数项（Jacobi polyfractonomials）的稳定高效谱配点法，用于求解分数阶微分方程（FDEs）。该方法利用具有正交性和Kronecker delta性质的分数阶Lagrange插值基函数，构建了适用于同阶及任意阶基函数的高阶分数阶导数通用导数矩阵，将原问题转化为线性方程组求解。文章的核心贡献在于针对高阶分数阶导数情形，建立了该方法的稳定性并推导了误差界。通过多个模型问题的数值实验验证，该方法相较于现有方法在精度和效率上均有显著提升。

　　

引言

分数阶微积分作为经典微积分的推广，在过去几十年里受到了研究界的广泛关注。科学和技术领域的许多数学模型已经发展为分数阶微分方程（FDEs）的形式。与经典的整数阶微分方程模型相比，分数阶微分方程（FODEs）模型在需要历史状态信息来预测未来行为的情况下尤其有用，例如金融行业的历史数据预测、粘弹性材料中应力与应变历史的关系、以及生态系统中的种群增长等。因此，FODE模型比经典模型更具信息量和准确性，被认为是精确表示电气动态系统行为、超越生物柴油中甘油供应的分数阶微分方程组、病毒感染和HIV-1感染模型以及使用延时控制器的金融模型等复杂现象的强大建模工具。

然而，除了建模之外，求解技术及其可靠性对于捕捉突然发散、收敛或分岔的关键点同样重要，因此始终需要高精度的解。常见的数值方法包括变分迭代法、分数阶差分法、Adomian分解法（ADM）、拉普拉斯变换法、幂级数法、分数阶微分变换法、预估校正法以及求解分数阶Riccati方程的分解法等。此外，许多研究者使用Haar小波操作矩阵的应用来求解FODEs。一些作者还采用了混合方法，例如用于有效数值求解分数阶偏微分方程的混合有限元法和拉普拉斯变换法，以及用于二维时间分数阶Cattaneo模型数值研究的高效混合方法等。

本文致力于研究求解分数阶微分方程的谱配点法。谱方法已成功应用于许多领域的数值模拟，如热传导、流体动力学和量子力学。本文的目标是利用Jacobi多分数项作为谱方法的基函数，并在不同类型的配点下进行求解。使用该基函数的优点在于它满足与区间[-1, 1]上的Jacobi多项式相同的性质。文中推导了一个通用分数阶的矩阵，该矩阵依赖于基函数的阶数。该矩阵随后被用于评估给定问题中函数的分数阶导数。基于Jacobi多分数项的分数阶导数矩阵作为一个强大的计算工具，专为高精度和高效率求解FODEs而设计。其构造利用了Jacobi多项式的谱特性并结合了分数阶微积分，提供了一个基于矩阵的框架，对涉及复杂现实现象的理论和实际应用都非常有益。

文中讨论了不同类型的配点，这些点是正交多项式及其端点的根。应用所提出的方法后，得到一组代数方程，并通过数值技术进一步求解以获得未知量。此外，还讨论了数值方法的稳定性界限和误差估计，这支持了所提出方法（PM）的高精度。通过求解一些模型问题，并将结果与其他现有方法进行比较，以展示其性能。

预备知识

本节回顾了分数阶微积分（FC）中常用的一些定义及其性质。分数阶导数的多项式形式对于ν ∈ (0,1)定义为：当 r < ν 时，值为0；当 0 < ν ≤ r 时，值为 Γ(r+1)/Γ(r+1-ν) x^r-ν。其中ν是分数阶，r是正实数。

Jacobi多分数项

标准的Jacobi多项式定义为J_n^ν₁,ν₂(x) = Σ_r=0ⁿ [(-1)^n-r (1+ν₂)_n (1+ν₁+ν₂)_n+r] / [r! Γ(r) Γ(n-r+1) (1+ν₂)_r (1+ν₁+ν₂)_n] * ((1+x)/2)^r，其中ν₁, ν₂ > -1, x ∈ [-1, 1]。(·)_n是Pochhammer符号，定义为(a)_n = Γ(a+n)/Γ(a)。Jacobi多项式的k阶导数定义为d^k/dx^k J_n^ν₁,ν₂(x) = (n+ν₁+ν₂+1)_k / 2^k * J_n-k^{ν₁+k, ν₂+k}(x), k ∈ N。

首先讨论非多项式基函数或Jacobi多分数项，它们是分数阶Sturm-Liouville问题（SLP）的特征函数，定义为J_n^ν(x) = (1+x)^ν J_n-1^{-ν, ν}(x), x ∈ [-1, 1]。这里J_n-1^{-ν, ν}(x)是标准的Jacobi多项式。利用上述定义，Jacobi多分数项的解析形式可推导为J_n^ν(x) = (1+x)^ν Σ_r=0^n-1 [1/2^r * (-1)^n-r-1 Γ(ν+n) Γ(n+r)] / [r! Γ(r) Γ(n-r) Γ(ν+r+1) Γ(n)] * (1+x)^r+ν = b_n Σ_r=0^n-1 [1/2^r * (-1)^n-r-1 Γ(n+r)] / [r! Γ(r) Γ(n-r) Γ(ν+r+1)] * (1+x)^r+ν，其中b_n = Γ(ν+n)/Γ(n)。

多分数项的分数阶导数定义为D_-1,x^ν J_n^ν(x) = Γ(ν+n)/Γ(n) J_n-1^0,0(x)，其中J_n-1^0,0(x)是阶数为(n-1)的Legendre多项式。分数阶Lagrange插值定义为φ_k^ν(x) = ((x - x₁)/(x_k - x₁))^ν Π_{j=1, j≠k}^N ((x - x_j)/(x_k - x_j)), 2 ≤ k ≤ N。其中x₁, x₂, ..., x_N是网格点。该插值满足Kronecker delta性质，即φ_k^ν(x_j) = δ_kj。

Jacobi多分数项关于权函数ω(x) = (1-x)^-ν (1+x)^-ν的正交性由∫_-1¹ ω(x) J_m^ν(x) J_n^ν(x) dx = [Γ(n-ν) Γ(n+ν) / (Γ(n))²] * (2/(2n-1))给出。接下来定义了集合H_s[-1,1] = {y ∈ L²([-1,1]) : D^ν_r y ∈ L²([-1,1]), 0 ≤ r ≤ s, for some s ≥ 0}。这里s是FODEs最高阶导数的上限。H_s是Hilbert空间，其内积定义为〈y, w〉 = Σ_r=0^N ∫_-1¹ D^ν_r y(x) D^ν_r w(x) dx，关联的范数定义为‖y‖ = (‖D_-1,x^ν y‖²)^1/2。

插值/配点

谱方法分为插值型和非插值型。插值点是已知函数与近似函数精确匹配的特定位置，而配点点是微分方程被强制满足的近似解的位置。插值点在给定域内随机选择，但配点通常是正交多项式的根或其导数的根。这些点的总结如下：(i) Jacobi多分数项的根，取(N-1)个点作为Jacobi多项式的根，另外从右边界x=1取一个点，构成N个配点。(ii) Jacobi多分数项导数的根D_-1,x^ν J_N^ν(x)的根，利用性质可得(N-2)个根，并包含左右边界条件以构成N个配点。(iii) Legendre多项式P_N(x), x ∈ [-1,1]的根。(iv) Legendre多项式导数的根。(v) Chebyshev多项式的根，-cos((2r+1)/N * π/2), r=0,1,...,N-1。取(N-2)个点，并包含左右边界条件以构成N个配点。(vi) Chebyshev多项式导数的根，-cos(πr/(N-1)), r=0,1,...,N-1。这种情况下边界条件自动加入。(vii) 等距点：这类点在域[-1,1]上均匀分布。

分数阶导数矩阵

设y(x): R → R是任意连续可微函数，f(x)是任意源函数，则分数阶微分方程（FODE）为L^ν y(x) = f(x), x ∈ [-1,1]。其中L^ν是分数阶微分算子，定义为L^ν = Σ_j=0^N e_j d^ν_j/dx^ν_j, N-1 < ν < N。边界条件为：若ν ∈ (0,1)，则y(-1)=0；若ν ∈ (1,2)，则y(±1)=0。

我们寻求FODEs的谱近似，用Jacobi多分数项表示为y^N(x) = Σ_k=1^N ?_k J_k^ν(x)。其中?_k是谱系数。该多分数项可以用分数阶Lagrange插值表示为y^N(x) = Σ_k=2^N y^N(x_k) φ_k^ν(x)。求和k从2到N，是因为当k=1时，分数阶Lagrange插值未定义。

对上述方程取分数阶导数，得到D_-1,x^h+α y^N(x) = Σ_k=2^N-1 y^N(x_k) D_-1,x^h+α [φ_k^ν(x)]。其中h是任意正整数，0<>₁ = -1，得到具体表达式。其中的连乘项可以近似表示为标准Jacobi多项式的线性组合，系数γ_kn通过Jacobi多项式的正交性求得。将这一近似代入导数表达式，并利用Jacobi多分数项的定义性质，经过一系列推导，最终得到在配点x_i处评估的分数阶导数表达式为D_-1,x^h+α y^N(x)|_xi = Σ_k=2^N-1 M_ki^h+α y^N(x_k)。其中M_ki^h+α是分数阶导数矩阵的元素，其具体形式由包含Gamma函数、组合数以及(1+x_i)幂次的求和式给出，2 ≤ i ≤ N-1, 2 ≤ k ≤ N-1。

对于特殊情况α=ν，利用Jacobi多项式的性质，分数阶导数矩阵可以简化为更简洁的形式。当h=0时，分数阶导数矩阵也简化为另一种形式。应用所提出的方法到FODEs上，得到一个线性方程组Σ_j=0^N e_j M^ν_j Y = F。其中Y = [y₁, y₂, ..., y_N]^T, F = [f(x₁), f(x₂), ..., f(x_N)]^T。矩阵的维度取决于分数阶导数的阶数。若ν ∈ (0,1)，则Y₁=0，矩阵大小为(N-1)×(N-1)。若ν ∈ (1,2)，则Y₁=0=Y_N，矩阵大小为(N-2)×(N-2)。

平移基的通用FODM

定义了从[-1,1]到[0,1]的映射ω = (x+1)/2。利用Jacobi多分数项的表达式，可以得到平移后的Jacobi多分数项。使用平移后的基函数和类似的推导过程，可以得到适用于区间[0,1]的分数阶导数矩阵，其形式与原始区间类似，但包含了由映射引起的尺度因子2^ν-α。最终得到的分数阶导数矩阵M_ki^h+α是(N-2)×(N-2)的矩阵。

误差估计

定理1

设y(x) ∈ H_s[-1,1]，y^N(x)是问题（3.1