非线性分数阶时滞积分-微分耦合系统的Ulam-Hyers-Rassias稳定性分析

《Kuwait Journal of Science》：Ulam stability for a general nonlinear fractional integro-differential delay coupled systems with Caputo derivative

本文针对一类具有多变量时滞的非线性Caputo分数阶积分-微分耦合系统，研究了其Ulam-Hyers-Rassias稳定性问题。作者通过构建广义完备度量空间并运用Diaz-Margolis不动点定理，首次在有限区间和无限区间上分别建立了该耦合系统的UHR稳定性判据。该研究不仅推广了整数阶时滞系统的稳定性理论，而且为分数阶泛函微分方程在控制理论和生物数学等领域的应用提供了重要的理论支撑。

　　

在工程系统和生物数学等领域，微分方程模型的稳定性分析始终是核心课题。随着分数阶微积分在粘弹性材料、反常扩散等复杂过程建模中的广泛应用，分数阶微分方程的稳定性研究近年来受到高度关注。特别是具有时滞效应的分数阶耦合系统，因其能更精确地描述生物神经网络的记忆特性、化工过程的传输滞后等现象，成为研究热点。然而，这类系统往往涉及非线性项、多时变时滞和积分项的复杂耦合，其稳定性分析面临巨大挑战。传统整数阶系统的Lyapunov方法难以直接推广，而现有文献对具有多变量时滞的分数阶积分-微分耦合系统的Ulam型稳定性研究尚属空白。

为解决这一难题，论文作者在《Kuwait Journal of Science》上发表了创新性研究。他们首次系统研究了如下形式的非线性Caputo分数阶积分-微分时滞耦合系统：

其中α∈(0,1)为分数阶导数阶数，ν_i(r)和δ_i(r)为时变时滞函数。该系统的独特之处在于同时包含了非线性函数项和积分项的双重耦合，且每个方程均涉及多组时滞状态变量，数学结构极为复杂。

研究的关键技术方法包括：利用Caputo导数与Riemann-Liouville积分的相容性将系统转化为等价的积分方程；通过构造广义完备度量空间X=X₁×X₂并定义加权度量d，将稳定性问题转化为不动点存在性问题；基于Diaz-Margolis不动点定理，通过严格控制Lipschitz常数条件，证明解的存在唯一性和UHR稳定性。

主要研究结果

广义度量空间的构建

作者创新性地定义了函数空间X={ (x,y)∈C(J)×C(J) | x(r)=ψ₁(r), y(r)=ψ₂(r), r∈[a-h,a] }，并引入度量d((x₁,y₁),(x₂,y₂))=inf{ β>0 | |x₁(r)-x₂(r)|≤βφ(r) 且 |y₁(r)-y₂(r)|≤βφ(r), r∈I }。这一构造巧妙地将稳定性估计与控制函数φ(r)直接关联，为后续分析奠定基础。

压缩映射算子的设计

通过定义算子J: X→X，其中J(x,y)(r)由两个分量组成，分别对应原系统的积分形式解。作者证明该算子是严格压缩的，关键步骤在于利用分数阶积分的核函数性质和Lipschitz条件，推导出压缩常数L需满足Γ(α)L/K > max( Σ|A_i|(M_i+M′_i)+ (?_i+?′_i)(b-a) , Σ|B_i|(n_i+n′_i)+ (r_i+r′_i)(b-a) )这一核心条件。

有限区间稳定性定理

在定理7中，作者建立了系统在有限区间I=[a,b]上的UHR稳定性结果：若存在常数L∈(0,1)满足特定不等式条件，则对任意满足扰动不等式组的函数对(x,y)，存在唯一解(x,y)使得|x(r)-x*(r)|≤[K/(Γ(α)(1-L))]φ(r)。该结论首次将单方程UHR稳定性理论推广到多时滞耦合系统。

无穷区间稳定性推广

通过引入衰减型控制函数φ(r)=E_α(-r^α)等技巧，作者进一步将稳定性结果推广到无穷区间情形。这表明该方法不仅适用于暂态过程分析，还可应用于系统稳态性能研究。

研究结论与意义

本研究突破了传统分数阶系统稳定性分析的局限，创建了多时滞积分-微分耦合系统UHR稳定性的统一分析框架。理论创新主要体现在三个方面：首次建立了该类系统的稳定性判据，填补了现有理论空白；提出的广义度量空间构造方法可推广至更复杂的分数阶泛函微分方程；稳定性结果对控制参数的设计具有明确指导意义，如Lipschitz常数与分数阶次的约束关系为控制器设计提供理论依据。

在应用层面，该成果为神经网络的同步控制、化工过程的稳定性优化等实际问题提供了新工具。特别是系统中多个时变时滞的设置，更贴合生物记忆过程的非均匀特性。未来工作可进一步研究带脉冲效应或随机扰动的分数阶耦合系统，推动理论向更复杂的应用场景拓展。