基于Caputo-Fabrizio和Atangana-Baleanu算子的疟疾传播分数阶模型分析及其控制策略研究

《Scientific Reports》：Analysis of fractional-order model for the transmission dynamics of malaria via Caputo–Fabrizio and Atangana–Baleanu operators

本研究针对疟疾持续传播这一全球性健康挑战，创新性地采用Caputo(CF)、Caputo-Fabrizio(CF)和Atangana-Baleanu(AB)三种分数阶微分算子构建传播动力学模型，通过不动点理论证明解的存在唯一性，数值模拟表明提高分数阶阶次可延缓疾病传播、降低感染峰值并延长爆发持续时间，为制定基于记忆效应的长效防控策略提供了理论依据。

　　

疟疾作为由疟原虫引起、经雌性按蚊叮咬传播的致命传染病，仍是全球尤其是撒哈拉以南非洲地区的重大公共卫生威胁。尽管全球已付出数十年努力，但2023年全球仍有约2.63亿疟疾病例和59.7万死亡病例，其中5岁以下儿童占比最高，凸显了该疾病的持续危害性。耐药性的出现、资金不足以及气候变化扩大蚊媒栖息地等挑战，更使得疟疾防控形势日趋复杂。

传统数学模型常采用整数阶微分方程描述疾病传播，但这类模型难以捕捉系统固有的记忆效应和长程依赖性，例如免疫衰减的延迟、蚊媒生命周期的时滞以及环境因素的累积影响等关键生物学过程。为更精准地刻画疟疾传播的复杂动力学行为，研究人员将目光投向分数阶微积分理论。相较于经典模型，分数阶模型通过非局部算子自然嵌入历史状态对当前动态的影响，为理解疾病的长时程行为提供了更灵活的数学框架。

本研究发表于《Scientific Reports》，旨在通过比较三种主流分数阶算子——Caputo（幂律核）、Caputo-Fabrizio（指数衰减核）和Atangana-Baleanu（Mittag-Leffler核）在疟疾传播模型中的应用，系统评估分数阶阶次对疾病动态的影响，并整合治疗与蚊媒控制策略，为制定可持续的疟疾防控方案提供理论支撑。

研究采用确定性仓室模型，将人群划分为易感者(S_H)、暴露者(E_M)、感染者(I_M)、治疗者(T_M)和康复者(R)五类，蚊群划分为易感蚊(S_V)、暴露蚊(E_V)和感染蚊(I_V)三类。模型参数如人类招募率Λ_H、有效接触率β_M、传染率θ_M、恢复率α_M、蚊群输入率Λ_V等均基于文献和世界卫生组织报告数据校准。关键技术方法包括：基于不动点理论的模型解存在唯一性证明；针对Caputo算子的Adams-Bashforth-Moulton预测-校正算法；针对Caputo-Fabrizio算子的两步Adams-Bashforth数值格式；以及针对Atangana-Baleanu算子的Adams型预测-校正方法。研究还利用2010-2022年尼日利亚疟疾报告病例数据进行了模型拟合验证（均方根误差约670例，R2=0.9997）。

模型构建与理论分析

通过将经典整数阶导数替换为Caputo、Caputo-Fabrizio和Atangana-Baleanu分数阶导数，建立了三种形式的疟疾传播模型。利用Banach不动点定理证明了Caputo-Fabrizio模型解的存在性和唯一性，确保了模型的理论严谨性。数值算法设计保证了不同算子下系统动态的稳定求解。

分数阶阶次对疾病动态的影响

数值模拟表明，分数阶阶次θ是调节疾病传播速度的关键参数。当θ值增大时，疾病传播速度减缓，感染峰值降低，但爆发持续时间延长。例如，在Caputo算子下，θ从0.7增至0.9可使感染峰值下降约30%，但流行周期延长1.5倍。这种“记忆强化”效应说明历史感染状态会持续影响系统演化，分数阶模型能更真实地反映疟疾的地方性流行特征。

不同算子的流行病学意义

Caputo-Fabrizio算子因其指数核衰减迅速，更适合刻画短期干预效果（如蚊媒杀灭剂的即时作用）；Atangana-Baleanu算子的Mittag-Leffler核具有长尾特性，更适用于描述免疫衰减、季节周期等长程记忆过程；Caputo算子的幂律核则能反映重复暴露的累积效应。对比显示，AB算子预测的爆发周期最平缓，CF算子呈现陡峭峰值，而Caputo算子介于二者之间。

控制策略的协同效应

提高治疗率γ_M和蚊媒控制强度可显著降低感染规模。当γ_M从0.1提升至0.4时，感染峰值下降约60%；同时，蚊媒死亡率μ_V增加50%可使人类感染规模减少45%。相图分析显示，联合干预能有效打破传播链，但需持续实施而非短期运动式防控，因为分数阶系统对历史干预措施具有“记忆”效应。

参数敏感性与社会决定因素

床网使用率φ、蚊虫叮咬率m等参数对传播动态影响显著。表面图显示，φ从0.3提高到0.7时，感染峰值降低约70%。此外，模型拟合结果证实，尼日利亚疟疾病例的持续上升与抗药性扩散、医疗可及性不足等社会决定因素密切相关，提示防控需结合社区参与和环境管理。

本研究通过分数阶微积分理论，突破了传统疟疾模型的局限性，揭示了记忆效应在疾病传播中的关键作用。结论表明：首先，分数阶模型能更准确地描述疟疾的长时程动态，尤其是免疫衰减、干预滞后等过程；其次，不同分数阶算子对应不同的生物学机制，CF算子适于短期干预评估，AB算子擅长刻画长期免疫，Caputo算子则适用于地方性流行区；最后，结合治疗与蚊媒控制的综合策略，并考虑其持续性和时序性，能最大程度降低疾病负担。研究成果为制定基于数据驱动的适应性防控策略提供了数学工具，尤其对尼日利亚等高负担国家实现2030年疟疾控制目标具有重要参考价值。未来研究可进一步纳入随机扰动、空间异质性和气候季节性等因素，增强模型的现实预测能力。