基于可逆跳变马尔可夫链蒙特卡洛的死亡率模型选择统一贝叶斯框架研究

《Annals of Actuarial Science》：A unified Bayesian framework for mortality model selection

本研究针对传统死亡率模型选择方法（如AIC/BIC准则）存在的模型孤立拟合、无法有效整合多模型信息及忽略模型不确定性等问题，提出了一个统一的贝叶斯概率框架。研究人员通过构建涵盖Lee-Carter、CBD、APC等经典模型及其中间过渡模型的灵活建模体系，并应用可逆跳变MCMC（RJMCMC）算法，实现了模型结构与参数的联合推断。该研究成功应用于40国人口死亡率数据（HMD）和英国保险产品分层数据（CMI），结果表明对于不同数据集，最优模型结构存在差异，且贝叶斯方法能有效量化估计不确定性。这项研究为死亡率建模提供了更全面的不确定性评估框架，对精算科学中的长期风险预测具有重要意义。

　　

在精算科学和人口统计学领域，准确预测死亡率变化是养老金规划、寿险定价和医疗卫生政策制定的基石。长期以来，研究人员开发了多种死亡率预测模型，如经典的Lee-Carter模型、CBD模型和年龄-时期-队列（APC）模型等。然而，面对众多模型选择，传统方法通常依赖AIC或BIC等准则进行单一模型筛选，这种做法存在明显局限：模型之间相互独立拟合，无法共享信息；当多个模型表现相当时，单一选择会丢弃其他模型的有用信息；更重要的是，传统方法难以同时考虑参数不确定性和模型不确定性，可能导致预测区间过于乐观。

正是在这样的背景下，Alex Diana等研究人员在《Annals of Actuarial Science》上发表了一项创新研究，提出了一个统一的贝叶斯框架来解决死亡率模型选择问题。他们认识到，不同死亡率模型可能适用于不同数据集，而模型本身的不确定性应当被纳入考量。为此，研究团队设计了一个灵活的建模体系，能够容纳从简单到复杂的多种模型结构，并通过可逆跳变马尔可夫链蒙特卡洛（RJMCMC）算法实现模型空间的高效探索。

为了开展这项研究，作者主要采用了以下关键技术方法：首先构建了一个统一的死亡率建模框架，涵盖年龄效应、时期效应、年龄-时期交互作用和队列效应等核心成分的不同参数化形式；其次开发了基于RJMCMC的贝叶斯推断算法，通过拉普拉斯近似提高参数提议效率；针对年龄-时期（AP）数据，模型框架包含了Lee-Carter、CBD、APC等经典模型及其中间过渡形式；针对年龄-时期-产品（APP）数据，则以APCI模型为基础进行扩展；研究使用了人类死亡率数据库（HMD）中40个国家（1990-2022年）的60-90岁人口数据，以及英国连续死亡率调查（CMI）提供的年金、定期寿险、重大疾病保险等产品的分层死亡率数据。

死亡率模型选择框架设计

研究人员设计了两种不同的模型框架以适应不同类型的数据。对于年龄-时期（AP）数据，框架将对数死亡率分解为三个核心成分：年龄效应（f₁(x)）、时期与年龄-时期效应（f₂(t, f₃(x))）以及队列效应（f₄(t-x)）。每个成分都有多种建模选择：年龄效应可以是线性的（a + b(x-x?)）或非线性的（a_x）；时期效应可以独立于年龄（k_t¹）、与年龄交互（k_t²(1+f₃(x))）或两者结合（k_t¹+k_t²f₃(x)）；交互项中的年龄项可以是线性（b?(x-x?)）或非线性（b_x）；队列效应可以存在（γ_c）或不存在。通过不同组合，该框架能够生成Lee-Carter、CBD、APC等20种模型及其过渡形式。

对于年龄-时期-产品（APP）数据，研究以APCI模型为基础进行扩展，允许每个成分随保险产品变化：年龄效应可以是共同项（a_x）、加性产品效应（a_x+c_p¹）或完全随产品变化（a_x,p）；年龄-时期交互项可以是共同项（b_x）或乘性产品效应（b_xc_p²）；时期效应可以是共同项（k_t）或加性产品交互项（k_t+k_t²c_p³）。这种设计使得模型能够灵活捕捉不同保险产品的死亡率差异。

贝叶斯推断与模型选择

研究采用RJMCMC算法进行贝叶斯推断，该算法能够处理不同维度模型之间的跳转。关键创新在于使用拉普拉斯近似作为提议分布，通过优化新参数的后验分布近似值来提高接受率。对于参数更新，采用Metropolis-Hastings算法与拉普拉斯近似（学生t分布）；对于模型空间探索，则依次提议改变每个模型选择变量（δ_i），并精心设计跳转机制以满足维度匹配条件。特别地，研究还处理了模型跳转中约束条件变化带来的挑战，通过重新参数化保持维度匹配。

模拟研究验证

为验证方法有效性，研究人员进行了模拟研究，针对20种不同模型生成数据并应用提出的方法。结果显示，该方法能够准确识别真实模型，仅在模型（1,3,1,2）——即a_x+k_t¹+k_t²b?(x-x?)+γ_t-x——附近存在轻微混淆，这主要源于当b_x≈k(x-x?)时模型接近不可识别的理论问题。

实际数据应用结果

应用AP框架于HMD数据发现，不同国家的最优模型存在差异。数据量大的国家（如美国、俄罗斯、日本、德国、英国）倾向于选择最复杂的模型（1,3,2,2）——即a_x+k_t¹+k_t²b_x+γ_t-x；而数据量较小的国家（如克罗地亚、挪威、斯洛伐克）则表现出更大的模型选择不确定性。这表明模型选择应基于数据特征，而非一概而论。

APP框架应用于CMI保险产品数据显示，不同产品的死亡率模式存在明显差异。定期寿险（TA）产品的死亡率显著低于年金产品，这与通常预期相反。由于某些年龄-产品组合的数据稀疏性，估计值表现出较大不确定性，凸显了贝叶斯方法在小样本情况下的优势。模型选择强烈支持（δ₁,δ₂,δ₃）=（2,1,2）的模型形式，即a_x+c_p¹+b_x(t-t?)+[k_t+k_t²c_p³]+γ_t-x，后验概率达0.9987。这表明不同保险产品共享年龄-时期交互项（b_x），但具有产品特定的年龄常数项和时期效应。

参数b_x的后验分析表明，60-75岁年龄组的死亡率改善幅度最大，而老年组的改善较小。时期效应参数k(t,p)总体为负值，表明死亡率随时间下降的趋势，但某些产品因数据有限而未呈现明显趋势。

讨论与意义

本研究提出的统一贝叶斯框架为死亡率模型选择提供了全新范式，其主要意义体现在三个方面：方法学上，通过RJMCMC实现了模型不确定性的量化，避免了传统单一模型选择的局限性；应用上，框架的灵活性使其能够适应不同类型数据（AP和APP），为精算实践提供了更全面的工具；实践上，研究结果揭示了不同国家、不同保险产品死亡率模式的差异性，强调了定制化建模的必要性。

研究也指出了当前方法的局限性，特别是RJMCMC在模型间跳转效率方面仍有提升空间，以及约束条件变化带来的实现复杂性。此外，贝叶斯方法固有的计算挑战在模型选择背景下更为突出。

未来研究方向包括扩展框架以容纳更复杂模型、处理连续型分层变量（如保险持续时间），以及改进RJMCMC提案分布以提高效率。总体而言，这项研究为死亡率建模领域提供了重要的方法论进步，为更准确、更可靠的人口和保险风险预测奠定了坚实基础。