代数栈上的混合Hodge模与六函子演算

本文由S. Tubach撰写，发表于《Forum of Mathematics, Sigma》，旨在解决代数栈上混合Hodge模（MHM）理论中六函子演算的扩展问题。研究人员系统构建了代数栈上混合Hodge模的导出范畴DH，证明了其具备完整的六函子演算体系（包括f, f!, f, f!, ?, ????），并建立了权重理论、Verdier对偶性、邻近圈函子Ψf和消失圈函子Φf。该工作统一了Achar的等变Hodge模理论与Davison的栈上推前层构造，为栈的Hodge理论奠定了坚实基础，对非光滑空间的上同调理论和模空间研究具有重要意义。

　　

在复代数几何领域，混合Hodge结构是研究代数簇拓扑的重要工具，而混合Hodge模（MHM）则将这一理论推广到层论框架。然而，传统理论主要局限于光滑代数簇，对于更一般的代数栈（如商栈[ X/G ]）则缺乏系统处理。代数栈作为模空间和商空间的自然载体，其Hodge理论的发展对理解非光滑空间的上同调性质和模空间的拓扑结构至关重要。

此前，Achar曾通过"零调拓扑"构造了等变混合Hodge模范畴，而Davison和Meinhardt则通过Borel构造研究了商栈上常数层的推前层。但这些方法存在局限性：Achar的理论依赖于特定拓扑，难以与标准六函子格式兼容；Davison的构造仅针对特定形态，缺乏一般性。这些问题阻碍了Hodge理论在栈上的广泛应用。

为解决这些难题，S. Tubach在《Forum of Mathematics, Sigma》上发表了开创性研究，系统建立了代数栈上混合Hodge模的六函子理论。作者通过^∞-范畴技术，将混合Hodge模的导出范畴D_H从代数簇推广到代数栈，并证明其具备完整的六函子演算体系。这一工作不仅统一了前人研究，还为栈的Hodge理论奠定了严格基础。

本研究主要运用了^∞-范畴 descent 理论、六函子形式体系、权重t-结构构造和Borel分辨技术。通过光滑下降将层理论从簇推广到栈；利用对应范畴（correspondence category）建立函子的高阶相容性；通过莫雷尔（Morel）的权重t-结构理论构造权重过滤；并运用Totaro的Borel分辨技术将栈问题转化为簇问题。

代数栈上混合Hodge模范畴的构造

作者首先通过右Kan扩张将混合Hodge模的导出范畴从代数簇推广到代数栈。对于有限型C-代数栈??，选择光滑表示π: X→??，定义D_H(??)为极限lim_Δ D_H(X_•)[d•]，其中X_•是π的?ech神经，d•是相对维数调整。这一构造确保D_H(??)具备预期的同调性质，且光滑拉回函子π^*是保守的。

六函子演算的建立

研究证明了在代数栈上，六种基本函子（拉回f、推出f、反常拉回f^!、紧支推出f_!、张量积?和内Hom函子????）均可良好定义。关键结论包括：f和f_!在构造性对象范畴D_H,c^b上保持有界性；对于Deligne-Mumford栈的固有态射，自然映射f_!→f是同构；Verdier对偶D_?? = ????(-, ω_??)是D_H,c^b上的反自等价。

权重理论的扩展

作者通过莫雷尔的权重t-结构理论，在栈上构造了权重过滤。对于整数w，定义全子范畴D_H(??)_≤w和D_H(??)_≥w，分别由"点权≤w"和"点权≥w"的对象组成。研究表明，当栈具有仿射稳定化子时，纯权0对象构成邦达尔科（Bondarko）意义下的权重结构的心，且纯对象是半单的。

邻近圈与消失圈函子的构造

对于函数f: ??→A_C¹，作者通过阿尤布（Ayoub）的单射邻近圈函子Υ_f和极限构造，定义了全邻近圈函子Ψ_f = colim_n (i_n)Υ_fne_n。证明表明Ψ_f[-1]保持构造性、是反常t-正合的，且与Saito的邻近圈函子Ψ_f^S相容。消失圈函子Φ_f定义为映射i→Ψ_fj的锥，满足正合三角i→Ψ_fj→Φ_f→。

与现有理论的比较

研究证明了本文构造的D_H,c^b([X/G])与Achar的等变混合Hodge模范畴D_G^{b(X)同构，且推前层p_!?_??与Davison通过Borel构造定义的对象一致。这一比较验证了新理论的兼容性与优越性。}

本研究系统建立了代数栈上混合Hodge模的完整理论框架，解决了该领域长期存在的关键问题。六函子演算的建立为栈的上同调理论提供了强大工具；权重理论的扩展使得纯性研究成为可能；邻近圈和消失圈函子的构造为奇点理论的应用铺平道路。与Achar和Davison理论的兼容性证明，表明新框架既概括又统一了前人工作。

这一理论的发展对多个数学领域具有深远影响：在代数几何中，为模空间的上同调理论提供新工具；在表示论中，为几何Langlands纲领提供Hodge理论版本；在奇点理论中，为栈的奇点分析奠定基础。未来，这一理论可进一步推广到导出栈和无穷维栈情形，并与p进霍奇理论建立联系。