自由群直积自同态的Brinkmann问题可判定性及无穷远动力学研究

《Journal of the Australian Mathematical Society》：ON THE DYNAMICS OF ENDOMORPHISMS OF THE DIRECT PRODUCT OF TWO FREE GROUPS

本文证明了自由群直积Fn×Fm自同态的Brinkmann轨道问题（判定点(x,y)经自同态Φ迭代后能否到达(z,w)）与共轭问题的可解性，并建立了单射自同态的双向Brinkmann共轭问题与上升HNN扩张共轭问题的联系，进一步揭示了自同构在无穷远边界上的渐近周期动力学特性。

　　

自由群直积自同态的动力学特性与可判定问题

本文系统研究了自由群直积Fn×Fm的自同态动力学性质，重点解决了Brinkmann提出的两类经典问题的可判定性，并深入分析了自同构在无穷远边界上的动力学行为。

Brinkmann问题的可判定性

对于自由群直积Fn×Fm上的任意自同态Φ∈End(Fn×Fm)和点对(x,y),(z,w)∈Fn×Fm，研究证明存在算法能判定是否存在自然数k∈N使得(x,y)Φk=(z,w)（直接轨道问题），或(x,y)Φk～(z,w)（共轭轨道问题）。这一结果扩展了Brinkmann在自由群自同构方面的工作，为更复杂代数系统的动力学分析提供了重要工具。

双向Brinkmann共轭问题与上升HNN扩张

针对单射自同态情形，研究进一步证明了两向Brinkmann共轭问题的可判定性。结合Logan的工作，这一结果直接导出了Fn×Fm的上升HNN扩张的共轭问题可解性结论。这类群结构在几何群论和拓扑学中具有重要意义，其算法性质的理解为相关领域的计算问题提供了新途径。

无穷远边界上的动力学行为

研究深入分析了Fn×Fm自同构在无穷远边界上的动力学特性，证明其具有渐近周期性。这一性质与自由群和自由阿贝尔群直积自由群的情形相一致，表明这类直积结构在无穷远边界上保持着良好的动力学正则性。通过引入Median代数理论和粗Median空间理论，研究建立了分析无穷远动力学的框架方法。

方法论与理论基础

研究运用了多个前沿数学工具：基于Bestvina-Handel的火车轨道方法用于分析自由群自同构；Bowditch发展的粗Median空间理论为无穷远边界分析提供几何框架；Roller边界和Fioravanti的Median代数边界理论为动力学行为研究提供了理论基础。这些方法的综合运用使得研究能在统一框架下处理代数、几何和动力学问题。

算法意义与应用前景

所证明的可判定性结果具有明确的算法意义，为群论计算软件提供了理论基础。特别是在处理直积结构的轨道检测和共轭问题时，这些算法可应用于群论、拓扑学乃至编码理论中的相关问题。上升HNN扩张的共轭问题可解性则为研究这类群的几何性质提供了新工具。

动力学行为的统一性

研究发现自由群直积的自同构在无穷远边界上表现出与自由群和自由阿贝尔群直积自由群相似的渐近周期动力学，这表明这类直积结构在动力学性质上保持着某种统一性。这种统一性可能源于其Median代数结构的相似性，为进一步研究更复杂群结构的动力学提供了方向。

未来研究方向

研究指出多个值得深入探索的方向：固定子群的交问题、广义共轭问题的完全解决、更一般群结构的动力学分析等。特别是将当前方法推广到其他Median代数结构或粗Median群的情形，可能带来群论动力学研究的新突破。

该研究通过融合几何群论、动力系统理论和算法群论的方法，深入揭示了自由群直积结构的动力学性质，为解决一类重要的算法问题提供了有效途径，为相关领域的进一步发展奠定了坚实基础。