非加倍流形上拉普拉斯算子的分析与Riesz变换端点估计研究

《Bulletin of the Australian Mathematical Society》：ANALYSIS OF THE LAPLACIAN ON A CLASS OF NONDOUBLING CONNECTED SUMS AND MANIFOLDS WITH QUADRATICALLY DECAYING RICCI CURVATURE

本文针对一类由有限个不同维数欧几里德末端构成的非加倍流形M，系统研究了Riesz变换的端点估计问题。研究人员通过建立Lorentz空间Ln*,1上的有界性，完善了Hassell和Sikora先前的工作框架，同时揭示了Riesz变换与反向Riesz变换在流形末端结构中的非等价性。该研究不仅为非线性流形上的分析工具提供了新的理论支撑，还为相关等周不等式和Sobolev不等式的研究开辟了新途径。

　　

在几何分析领域，流形上的分析算子研究一直是核心课题之一。特别是对于具有复杂几何结构的非加倍流形，传统欧几里德空间中的分析方法往往不再适用。这类流形通常由多个不同维度的"末端"构成，在无穷远处呈现出异质化的几何特性，给数学物理问题的研究带来了本质性困难。其中，Riesz变换作为连接拉普拉斯算子与梯度算子的重要桥梁，其有界性研究对理解流形上的分析性质具有奠基性意义。

早期研究中，Hassell和Sikora已经发现，在由有限个不同维度欧几里德末端构成的非加倍流形M上，Riesz变换的L^p有界性仅存在于1<><>的范围内，其中n=min_k n_k表示流形末端的最小欧几里德维数。这一突破性发现揭示了非加倍流形与经典加倍流形在分析性质上的本质差异，但也留下了关键的端点估计问题亟待解决。更令人困惑的是，在具有末端结构的流形上，Riesz变换与其反向变换表现出非等价性，这与传统欧几里德空间中的认知形成鲜明对比，暗示着几何结构对分析算子的深刻影响。

为了深入探索这一前沿问题，Dangyang He在《Bulletin of the Australian Mathematical Society》上发表了系统性研究，通过创新性的分析方法，首次建立了Riesz变换在Lorentz空间L^n,1上的端点有界性，并严格证明了其在L^n,p→L^n_*,q空间中的无界性特征。这一工作不仅完善了非加倍流形上Riesz变换的完整理论框架，更通过等周不等式、Sobolev不等式和谱乘子等多角度探索，揭示了复杂几何流形上分析算子的深层规律。

本研究主要采用了泛函分析中的硬分析技术、几何测度论方法以及调和分析中的精细估计策略。特别地，针对具有二次衰减Ricci曲率的流形，研究人员发展了远程球面上的热核正则性理论；对于末端型流形，则建立了一般化的等周不等式框架。此外，研究还涉及对一维模型（折线）的精细分析，以及复时间预解式与谱乘子的等价性证明。

端点估计对于Riesz变换在流形末端上的应用

通过建立Lorentz空间上的精细插值理论，研究人员证明了Riesz变换在L^n,1上的有界性，同时发现对于所有1<>^n,p→L^n_*,q空间中无界。这一结论通过度量锥和二次曲率衰减流形上的推广结果得到了进一步验证。

等周不等式与Sobolev不等式在曲率衰减流形上的建立

研究团队首次证明了在Ricci曲率二次衰减的流形上，远程球面的热核正则性可导出经典的等周不等式。对于末端型流形，虽然经典等周不等式不再成立，但成功建立了一般化的等周不等式 formulation，为非线性流形上的几何分析提供了新工具。

末端流形上反向Riesz变换的有界性研究

通过严格的泛函分析证明，研究人员确认了反向Riesz变换在所有L^p空间(1<>

复时间预解式与谱乘子的等价性证明

通过建立光滑性条件下的等价关系，研究人员证明了末端型流形满足必要的预解式条件，从而为这类非加倍流形上的谱乘子理论奠定了坚实基础。

本研究系统解决了非加倍流形上Riesz变换的端点估计问题，完善了该领域的理论框架。特别值得关注的是，研究揭示了Riesz变换与反向Riesz变换在末端型流形上的非等价性，这一发现不仅深化了对几何流形上分析算子行为的理解，还为相关领域的进一步发展提供了新的研究方向。在应用层面，所建立的等周不等式和Sobolev不等式理论为几何测度论在非线性流形上的应用开辟了新途径，而复时间预解式与谱乘子的等价性证明则为偏微分方程理论的推广提供了有力工具。这些成果标志着非加倍流形上的分析学研究进入了新的发展阶段，对几何分析、数学物理等领域的进步具有重要推动作用。