自减速角衍射光束叠加合成自愈合微光束：准无衍射光束与光子纳米射流的协同融合

《Advanced Photonics Research》：Synthesis of Self-Healing Microbeam by Superposition of Self-Decelerating Corner-Diffraction Beams

本文系统探讨了准无衍射（QND）光束与光子纳米射流（PNJ）的协同融合策略，创新性地提出通过低折射率介电材料微立方体结构，首次生成自减速角衍射光束并进一步叠加合成长程（10λ–100λ）自愈合微光束。研究通过理论建模（Fresnel衍射）与数值模拟（FDFD）验证了该简单平台在实现微尺度QND光束（如光束宽度<5λ，传播距离>50λ）及其抗局部遮挡自愈合能力方面的潜力，为微加工、纳米制造及光片显微镜等应用提供了新思路。

　　

1 引言

显微级薄光学光束在微加工、纳米制造和光片显微镜等领域发挥着重要作用。这类“微光束”主要分为两种类型：第一种基于光子纳米射流（PNJ），这是一种主要通过衍射形成的微尺度（通常为亚衍射级）光集中现象。PNJ不涉及等离子体效应，仅微弱依赖高Q值共振，可由多波长尺度、低折射率介电平台产生。经过一些改进，这种易于制造的平台还能产生高度拉长的PNJ形式微光束，例如由PMMA截锥体阵列产生的16λ长微光束。

第二种类型基于准无衍射（QND）光束。作为理想无衍射光束的横向截断版本，QND光束能够在长距离（10λ–100λ）内抑制光束扩展。许多QND光束还表现出高度有用的“自愈合”特性，使其在部分遮挡后能够重建光束模式。然而，QND光束通常是宏观尺度的，将其缩小为微光束通常需要额外的缩束光学系统。一些微尺度平台直接生成了QND微光束，但其复杂性往往显著高于PNJ平台。

鉴于PNJ型和QND型微光束各自的优势，尝试它们的融合似乎是直观的，这将最终实现具有简单PNJ式平台的QND型自愈合微光束。本研究采用一对微尺度“相位阶跃”作为平台进行了此类尝试。该简单装置仅由两个直角角点横向分离w并垂直挤出高度h构成，此前已以“微阶跃”、“边缘”或“立方体”等名称被用于PNJ生成。在本方法中，该平台将被双重利用：首先用于通过角点衍射生成两个高度弯曲的光束，然后将它们叠加成一个潜在的自愈合QND微光束。

这种通过短程光束叠加合成长程QND光束的方法已使用艾里光束得到验证。本研究旨在用自减速角衍射光束取代自加速艾里光束（其向光源弯曲），使其更适于与垂直镜像光束组合形成长程光束。单角点衍射产生的弯曲光束的QND和自愈合特性已被讨论，但讨论未延伸至其配对形式。最近，Minin等人指出了角衍射光束的自愈合潜力及其同时配对形成PNJ的前景，但其向微光束的延伸主要在近场进行了探索。本研究旨在将叠加扩展至微光束生成，并通过理论建模和数值模拟深入检验微光束的QND和自愈合特性。

2 建模与分析

2.1 物理单相位阶跃

首先对单个相位阶跃（对应图1a结构左半部分）的衍射进行建模。它常被建模为一个阶跃函数，当x>0时，在入射波前增加相位φ_o ≡ k?h?(n_d - n_amb)。这种“相位跳跃”的角衍射会产生一个由Fresnel积分F_c和F_s描述的电场分布。设置φ_o = π，因其能沿中心线（x=0）诱导最佳相消干涉。具体参数设置为λ=500 nm, h=500 nm, n_d=1.5, n_amb=1.0，旨在利用低折射率介电结构在可见光区域的应用。

然而，物理相位阶跃更为复杂。入射波依次经历角衍射、倾斜传播、全内反射以及顶部界面的折射。角衍射将入射波分成两部分，预计它们会沿中心线发生干涉。为应对此复杂性，首先使用基于有限差分频域（FDFD）方法的MaxwellFDFD进行模拟。结果与现有数值或半解析结果一致。

理论和FDFD模拟结果均显示角衍射的两个主瓣确实形成了两束光。由于平衡的相消干涉（φ_o = π），两个主瓣之间的间隙保持暗区。满足Kotlya条件（(dx_max/dz)?(d2x_max/dz2) > 0）时，这两个主瓣可被视为自减速而非自加速，因此它们会向垂直渐近线弯曲。在如图1a所示的配对相位阶跃几何结构中，通过调整w，可以使n_d侧产生的两个主瓣沿中心线重叠并形成长程光束。

为检查FDFD模拟是否可用计算负担更轻的方程（1）替代，比较了结果。在n_amb侧，结果吻合良好。然而，在n_d侧，方程（1）未能重现FDFD结果中观察到的两个主瓣峰值强度水平的不对称性。

2.2 修正单相位阶跃

相应地，尝试通过迭代修改相位跳跃模型以匹配相应FDFD模拟结果。观察到的不对称性与在n_d侧附加二次相位φ_a所引起的不对称性非常相似。因此，在理想相位阶跃上增加了一个等效薄透镜，并应用了Tavassoly等人的公式。由于方程（4）中的附加相位在x→+∞时无限增加，使用w_L宽度的窗口对其进行了切趾。然后，在监控与FDFD模拟结果偏差的同时，变化参数(a, b)。在z=50 μm处获得最佳匹配，其等效于一个w_L=4 μm、φ_L=π/2的二次透镜。该优化在z=50 μm处进行，但最优(a, b)参数在z=25 μm处也表现良好。

添加此类薄透镜的物理基础尚不完全清楚。可能与角衍射后介电脊n_d侧由于沿空气-介电界面切向电场的连续性而产生的二次相位滞后有关。通常，理想相位跳跃与物理相位阶跃衍射结果之间的差异随着传播距离的增加而减小。在z > 20 h时，相位跳跃模型结果与FDFD结果吻合良好，因此可用于长程传播的快速建模。

2.3 相位条带的光束形成

随后将单相位阶跃模型扩展至其配对形式，常称为“相位条带”。对于透明相位条带（φ_o = π），组合角衍射导致一个由两个Fresnel积分组合描述的电场分布。图3a显示了w=5 μm时方程（7）的结果，揭示了当衍射进行过z=0至10 μm的初始阶段后，沿中心线形成光束。

为获得更深入的理解，对具有非零h的物理相位条带进行了FDFD模拟。四个不同w值的FDFD模拟结果表明，相位条带衍射等效于两个角衍射的叠加。它们的重叠程度以及叠加波的特性关键取决于w。在宽间距下（如w=15 μm），n_d侧的两个角衍射光束只是并列而无重叠。随着w减小，它们彼此接近并最终沿中心线形成光束。w=5 μm的情况是一个清晰的例子，也再次证实角衍射光束的自减速特性确实有利于长程光束形成。整体场模式类似于单缝衍射或“衍射聚焦”产生的模式，但由于左右两侧无遮挡部分的存在而更为复杂。中心光束总是伴随一对次级瓣，随着z增加，次级瓣变得越来越强。同样，沿中心线平衡的相消干涉确保了中心光束与次级瓣分离，并由强度零点守护。

然而，w的进一步减小（如w=1.75 μm）逐渐将光束的峰值强度区域推向相位条带附近。最终，当w接近波长时（如w=0.5 μm），叠加变为近场聚焦，非常类似于PNJ，而中心线区域在远场变暗。图S1通过动画重现了上述强度模式转变趋势，与文献中的预测定性一致。

方程（7）与FDFD模拟获得的强度模式在图3c中进行了比较。对于两个次级瓣之间的中心光束区域，一致性尤其好，这证明了可以用计算成本低得多的方程（7）替代FDFD模拟。作为对此方程（7）模型的间接支持，测量了3D相位条带的透射光谱并与模型预测进行了比较。

3 光束特性

3.1 光束优化

使用上一节建立的模型，继续优化由相位条带产生的光束。具体将以下四个量作为主要品质因数（FoMs）：（1,2）中心光束的半高全宽（FWHM）宽度（2Δx）和峰值强度（I_P1），（3）中心峰与次级峰之间的分离距离（Δx₁₂），以及（4）它们的峰值强度比（I_P2/I_P1）。良好的中心光束应具有低Δx和低I_P2/I_P1，同时保持高Δx₁₂。

由于λ, h, n_d, n_amb已分别设置为500 nm, 500 nm, 1.5, 1.0，w成为唯一剩余变量。因此，将w从4变化到12 μm，同时监测光束模式和FoMs。将目标优化传播距离设置为z=25 μm。结果表明，确实存在一个w范围，使得大多数FoMs同时优化。在当前情况下，I_P1水平和I_P2/I_P1比率在w接近6 μm时通常达到优化。有趣的是，由于图4a中显示的旁瓣反复出现和消失，Δx₁₂作为w的函数表现出突变。这种阶跃式转变使得选择最优w值更容易。Δx在w≈6 μm附近保持恒定。考虑到图4b中显示的所有趋势，选择w=6 μm作为最优值。

随后，对优化的相位条带进行了100 μm的FDFD模拟，并将结果绘制在图4c中。插图还显示了FoMs沿传播的变化。图4c中的数据表明，为z=25 μm优化的相位条带产生的中心光束在19 < z < 50 μm范围内保持了明确的光束模式。在此范围内，中心光束与次级瓣清晰分离（Δx₁₂ > 10λ）且强度更强（I_P2/I_P1 < 1.0）。此外，中心光束的FWHM宽度从1.4增加到2.5 μm，表明峰值展宽与√z成正比，而非与z成正比。如插图中z=25至50 μm之间的鸟瞰强度分布所示，光束也持续保持其轮廓形状。所有这些特征都证明了中心光束具有所需的QND特性。超出此范围，I_P2/I_P1比率逐渐增加，将光束轮廓转变为三叉“三叉戟”轮廓。随着I_P1的持续下降，光束最终变为中空。

3.2 自愈合特性

随后使用基于FDFD方法的数值模拟来表征优化光束的自愈合潜力。自愈合能力在光束光学中非常受青睐，因为它允许光束模式在部分遮挡后重建。许多QND光束中都观察到了这种特性。有趣的是，在其他QND光束叠加产生的QND光束中也观察到了自愈合特性。由于单相位阶跃的角衍射光束也已知具有自愈合特性，因此测试了该特性是否可以通过两个此类角衍射光束的叠加传递给长程微光束。

为诱导部分遮挡，使用了一个宽度为1000 nm（2λ）、厚度为100 nm的不透明硅块。它被放置在相位条带上方500 nm（1λ）处，并沿x方向滑动。其位置由横向中心点x_c指定。

图5a,b显示了遮挡光束的强度模式，对应两种极端情况：障碍物置于中心（x_c=0 nm，标记为J）和置于边缘（x_c=2500 nm，标记为K）。图5c,d分别以放大视图显示了J和K情况下场的扰动。在两种情况下，光束都受到显著扰动，但最终在后续传播过程中恢复了整体形状。

将这种鲁棒性归因于角衍射光束的焦散光束性质，无数光线共同贡献形成强度峰值。部分遮挡仅阻挡了部分光线，允许在远场重建光束形状。图5e显示了z=50 μm处光束强度剖面随x_c的逐渐变化。为便于比较，将J和K的剖面与无遮挡传播Q的结果叠加在图5f中。它们表明，中心遮挡主要降低了中心光束的峰值强度。另一方面，相位条带边缘的遮挡导致中心光束向中心线的另一侧横向移动。然而，光束强度剖面的偏差小于中心遮挡情况。总体而言，模拟结果表明，来自相位条带的叠加QND光束对于横向尺寸为2λ的物体部分遮挡具有鲁棒性。图S2通过动画进一步证实了这种鲁棒性。

障碍物的几何参数（即其宽度、横向位置、厚度和垂直间距）中，前两个起主导作用，因为它们控制哪些光线成分被阻挡而无法形成焦散光束。随着与相位条带垂直距离的增加，障碍物的有效宽度变窄。对于合理不透明的障碍物，其厚度影响最小。这些趋势在我们的模拟中普遍观察到。

4 结论

本研究尝试了QND和PNJ光学光束概念的融合，并探索了使用简单PNJ式平台生成长程、潜在自愈合QND微光束的可行性。方法中的关键使能元件是介电立方体，我们对其进行了双重利用：首先生成一对角衍射光束，然后将它们组合成微光束。

作为光束形成平台，立方体具有多重优势。其直角角点即使在低折射率对比度下也能作为高效的衍射源。产生的角衍射形成两个具有垂直渐近线的自减速光束，仅需匹配渐近线即可实现微光束合成。此外，这种合成可由多波长尺度的立方体完成，大大减少了对复杂纳米加工步骤的需求。另外，角衍射光束已知的自愈合能力使得观察其叠加光束同样具有该特性成为可能。

采用基于Fresnel衍射的理论方法和基于FDFD的模拟来建模光束合成并预测光束特性。在我们的设计中，由低折射率（n≈1.56）材料制成、具有介观尺度高度（≈λ）和约12λ宽度的立方体可以产生QND光束，其光束宽度在>50λ的距离内保持在5λ以下。该光束伴随一对旁瓣，但通过强度零点与它们清晰分离。这些特性得到了FDFD模拟的证实。FDFD模拟结果还表明，合成的微光束对于放置在立方体上方仅1λ、宽度达2λ的不透明物体的部分遮挡具有鲁棒性，证实了其自愈合能力。这些概念、模型和结果不仅有助于PNJ和QND光束的协同研究和利用，也将丰富其新颖、反直觉的应用，如离散波导。

附录：透射光谱比较

为进一步支持基于方程（7）的模型，测量了立方体结构的透射光谱并与模型预测进行了比较。作为测试结构，使用低折射率光聚合物（NOA73, n_d≈1.56）纳米压印了一个微尺度立方体阵列。图6a显示了部分测试结构的3D AFM扫描图。从插图中沿虚线切割的横截面轮廓估计，立方体的平均w和h分别为2 μm和900 nm。阵列的填充因子约为50%。

利用光谱仪（USB-2000, Ocean Optics）获得了制造的测试结构的透射光谱。将准直、波长扫描的入射光导向测试结构，并通过狭缝捕获透射光。光谱分辨率约为1 nm。观察到的透射光谱绘制在图6b中，显示出一个以λ≈470 nm为中心的宽峰，这大约是能诱导φ_o=2π的波长。

随后使用方程（7）估算了相应的透射光谱。为复现实验设置，将传播距离设置为1000 μm，狭缝宽度设置为20 μm。最初计算的透射光谱由于存在来自间隙区域的未衍射泄漏光，调制深度仅为20%。通过考虑50%的填充因子调整了对比度。得到的透射光谱与实验结果叠加在图6b中。透射峰形成于λ≈450 nm，与实验结果大致匹配。将不匹配归因于纳米压印后聚合物薄膜厚度不均匀导致的立方体高度不确定性。峰的总体形状也与实验观察结果匹配，进一步支持了基于方程（7）的模型。