基于多项式、指数和三角函数的注视差异曲线数学模型开发与验证

本综述创新性地开发了针对四类经典注视差异曲线（FDC）的数学模型：I型（多项式函数）、II/III型（指数函数）和IV型（三角函数）。研究通过最小二乘法优化参数，并利用20名受试者的实验数据验证，结果显示模型分类准确率达85%，与验光师主观分类一致性为75%。新模型在斜率计算上展现出显著的类型间差异（p=0.002），而通用多项式拟合则无此区分力（p=0.36），证实其可有效提升FDC分析的客观性与精准度，为双眼视觉功能障碍的诊断管理提供了可靠工具。

　　

摘要

目的

本研究旨在开发数学模型来描述四类经典注视差异曲线（FDC），以解决现有通用多项式拟合的局限性。这些模型为分析FDC提供了客观框架，目标是改善双眼视觉障碍的诊断和管理。

方法

研究分为两个阶段。第一阶段为每类FDC确定基础数学函数：I型采用多项式函数，II型和III型采用指数函数，IV型采用三角函数。通过MATLAB中的最小二乘法优化函数参数。第二阶段使用20名参与者的实验数据验证模型，确保涵盖所有FDC类型。使用Wesson卡在七个聚散需求水平下测量注视差异。

结果

所提出的模型准确呈现了每类FDC的形状和特征，总体分类准确率达到85%。模型与验光师主观分类的一致性为75%。使用开发模型计算斜率时，不同类型间存在显著差异（p=0.002），而使用通用多项式拟合则无显著差异（p=0.36）。

结论

新开发的模型提高了FDC分析的精确性和可靠性，从而减少了主观偏差。这些模型在临床和研究环境中具有应用潜力，可用于更准确的双眼视觉评估。

引言

注视差异是双眼注视过程中视觉轴的细微错位，是理解双眼视觉及其协调机制的关键组成部分。流行病学研究表明，注视差异以不同形式出现，其类型在患病率和临床意义方面存在差异。在Ogle基础工作中描述的四类经典注视差异曲线中，I型最为常见，约占60%。这些曲线也称为强制聚散曲线，代表了在变化的视觉需求下（如使用棱镜或透镜改变聚散或调节负荷），Panum融合区内聚散反应所承受的压力。I型曲线的特点是基础向内（BI）和基础向外（BO）需求之间呈对称的S形，反映了双向高度聚散适应的正常反应。II型约占25%，表现为不对称的S形曲线，对BO需求的适应减少而对BI反应正常。III型约占10%，则呈现相反模式，对BI适应减少而对BO反应正常。II型和III型通常与双眼功能障碍及相关视觉症状相关。IV型最不常见（约5%），对BI或BO需求呈现近乎平坦的曲线。

这些曲线的关键特征包括其斜率、形状和对称中心。这些特征提供了关于个体双眼视觉系统的宝贵信息，包括其在压力下的适应性和稳定性。例如，FDC的斜率反映了随着聚散需求变化，注视差异的变化率，是聚散系统适应能力的指标。斜率陡峭的曲线更常见于有症状的患者。在生理层面，注视差异源于双眼视觉中感觉和运动成分复杂的相互作用。这些过程受聚散适应、调节反应和Panum融合区界限的影响。如前所述，FDC的形状反映了其与视觉症状和适应过程的关系。对称中心代表FDC最平坦的中心区域，对应于聚散适应对融合性聚散变化反应最有效的点。

临床上，FDC已被用于诊断和管理双眼视觉异常，如集合不足（可表现为头痛、视力模糊和视疲劳等症状）。值得注意的是，在以往使用FDC的研究中，FDC类型的识别主要是主观进行的。尽管如此，一些研究主要侧重于将通用函数形式拟合到实验数据。研究中使用的许多模型使用正交多项式函数来近似FDC，以捕捉曲线的基本形状并计算斜率（通常是研究的因变量）。然而，不同研究中选择的多项式阶数各不相同，数据分析方法也各异。

在此背景下，一些研究采用了最佳PEST（顺序测试参数估计）方法，而另一些则考虑了概率单位分析。最佳PEST方法在心理物理学研究中通过根据参与者反应自适应调整测试参数来有效确定阈值值。然而，该方法倾向于呈现负偏差，且随着试验次数增加而减小，因此需要更多测量值才能提供准确的阈值估计。另一方面，概率单位分析是一种用于模拟二元或有序结果的回归方法，也常用于理解刺激强度与特定反应概率之间的关系。在FDC背景下，它有助于量化不同聚散需求下的聚散适应和注视差异。但该分析并非适用于所有数据集，可能不适用于所有情况。

因此，拟合FDC似乎可以通过采用特定的理论模型来改进。每类FDC具有独特的数学函数；因此，需要一个更稳健的模型，而不是对所有形状使用相同的多项式拟合。FDC形状的变异性（如I型的对称S形曲线或II型和III型中观察到的平坦段）表明，单一多项式拟合可能无法准确捕捉每类FDC的细微行为。此外，为所有类型的FDC开发理论和数学模型可以避免主观解释，转而依赖科学严谨性。本研究旨在通过开发一个全面的数学框架来克服现有模型的局限性，该框架为每类FDC分配适当的初等函数。通过纳入这些数学模型，研究旨在提高FDC分析的客观性和可靠性。为确保其实用相关性，将根据实验数据验证所开发的模型，以证明所提出模型表征真实注视差异行为的能力，并将其与既定的主观分类标准进行比较。

方法

本研究基于两项主要研究。第一项旨在为每种FDC形状开发数学模型。使用初等函数对四种不同的FDC类型进行分类，并考虑了主要生理成分（如对称中心）。使用最小二乘法通过最小化误差来确定每类FDC的最佳初等函数。所有计算均使用MATLAB完成。

第二项研究通过将模型的预测结果与真实数据进行比较来评估数学模型的稳健性。招募参与者（均为大学生）参与分析，确保无斜视或弱视，惯常屈光矫正后的远、近视力至少为0.00 logMAR（使用ETDRS视力表），立体视锐度≤70弧秒（随机点测试）。为确保分析不同形状的FDC（而不仅仅是无视觉症状的正常反应I型），收集的验光数据不包括近点集合或失代偿性隐斜视，因为这些与其他FDC形状相关。分析目标是在招募阶段至少识别出每种类型（I、II、III和IV）的一例FDC。

符合纳入标准的参与者接受FDC测定。使用Wesson注视差异卡在40厘米距离测量主观FDC，聚散需求为-15、-10、-5、0、5、10和15棱镜度（Δ）（负值为基础向内棱镜，正值为基础向外棱镜）。在此距离下，每1毫米注视差异对应0.25棱镜度（Δ）或8.6弧分（'）的测量值，最大水平为1Δ或34.40'。测量时不允许参与者手持Wesson卡，在原始注视位进行测试，并使用下巴托保持测试距离。佩戴惯常矫正眼镜或隐形眼镜。每次更换棱镜后允许休息5秒，棱镜值从0开始，随后是-5/5、-10/10和-15/15Δ。所有口头反应记录在电子表格中。为确保本研究的数据完整性，仅纳入在所有测试聚散需求下均表现出注视差异反应的参与者。所有参与者在参与前均被充分告知研究性质并签署书面同意书。研究方案经加泰罗尼亚理工大学机构审查委员会审查批准。

结果

研究1：数学模型的开发

经过对多种初等数学函数的考量，最终确定I型FDC与三次多项式函数相关联，II型和III型与指数函数相关联，IV型与三角函数相关联。

对无约束拟合的初步测试表明，在某些情况下，指数或三角函数可能退化为近乎线性的曲线，这不能反映所描述的不同FDC类型的生理行为。此类情况会给分类过程带来模糊性并降低临床可解释性。因此，根据已建立的生理范围，为注视差异和对称中心添加了边界限制，确保建模曲线与所有四种FDC形状保持一致。

考虑到I型和IV型的对称中心，以及II型、III型和IV型的上下界，确立了以下初等函数：

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  I型由以下函数描述：f₁(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³
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  II型遵循指数函数：f₂(x) = a₀ + a₁e^{a₂(x - a₃)}
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  III型遵循指数函数：f₃(x) = a₀ + a₁e^{-a₂(x - a₃)}
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  IV型由三角函数估计：f₄(x) = a₀ + a₁sin(a₂(x - a₃))

其中a₀、a₁、a₂和a₃是模型参数：a₀表示垂直位移；a₁代表垂直扩张和收缩；a₂（对于I型）和a₃（对于其他类型）对应水平位移；a₂（对于II、III和IV型）则负责一定程度的水平扩张和收缩。根据文献中的临床数据，I型和IV型的对称中心通常在-10到+10弧分范围内。类似地，对于II型，最小值通常下界为-10弧分，而对于III型，最大值上界为+10弧分。基于这些假设，I型考虑a₀在-10和10之间，对称中心建立在a₀和a₃值在-10到10之间的正方形区域内。同样，IV型考虑a₀在-10和10之间。另一方面，II型确定a₀ ≤ -10且其注视差异小于或等于-10。最终，对于III型，a₀ ≥ 10且注视差异小于或等于10。对于IV型，这些值在-10和10之间，即a₀在-10和10之间。最后，对于II型、III型和IV型，假设a₂ > 0，以确保与相应的指数或三角函数紧密对齐，而不是线性或常数函数。

给定实验数据，可以根据最小二乘法计算系数。换句话说，找到系数以最小化由公式（1）给出的均方根误差（RMSE），同时满足为每个函数定义的先前限制。使用MATLAB中集成的fmincon包来解决这些系统。

斜率计算是FDC的一个重要参数。一些作者基于3Δ BI和3Δ BO之间的注视差异变化计算斜率，使用公式（2）。然而，其他人使用直线回归线计算斜率。在数学上，需要注意的是，该值表示注视值相对于聚散需求的变化，而不是在特定点定义的斜率。尽管如此，本工作中继续使用“斜率”一词来指代注视随聚散需求的局部变化。虽然这不是拟合回归线的斜率，但保留该术语是为了与先前文献保持一致。需要澄清的是，在数学方法中，“斜率”描述的是给定点处注视差异曲线的瞬时变化率（即导数）。因此，公式（2）有效地提供了连接点(x, FD(x))在x = -3和x = 3处的直线的斜率。从该模型出发，斜率由以下公式确定：S₁ = (f₁(3) - f₁(-3)) / 6，S₂、S₃、S₄ 分别对应I、II、III和IV型。

接下来，使用一个理论示例测试该模型。结果显示，基于模拟模型，这些结果与II型注视差异一致。此外，对于最佳拟合近似（即II型），相应的斜率为S₂ = (f₂(3) - f₂(-3)) / 6。

研究2：模型的验证

研究的第二阶段侧重于用经验数据验证所提出的数学模型，因为模型的准确性和分类可靠性对于临床和研究应用至关重要。为验证模型，筛选了35名大学生，其中20名纳入研究。15名学生被排除，因为他们在注视差异测试期间未完成全部聚散需求范围（由于出现复视或抑制）。20名参与者的所有注视差异曲线如图所示。

首先，为了测试模型，三位经验丰富的验光师主观识别了20名参与者的FDC类型：13名（65%）、1名（5%）、2名（10%）和4名（20%）分别具有I型、II型、III型和IV型。此外，选择了三位数学教授根据图1对20条FDC进行分类。他们被告知基于他们对代数函数的知识进行分类。三位数学家一致同意对20条FDC进行分类。有趣的是，验光师和数学家的主观分类在五个案例（25%）中存在不一致，特别是P₂、P₇、P₁₂、P₁₄和P₁₇。验光师主观分类的评分者间信度使用Cronbach's alpha计算，结果为α=0.44，p=0.06；数学家的结果为α=1.00，p<0.001。

其次，通过应用最小二乘法来比较开发的模型，以拟合每种初等函数 across 所有类型的FDC，从而确定相应的系数。表1总结了根据四种类型对所有20名参与者进行上述近似计算相关的误差（使用公式1）。每位参与者的最佳拟合近似以粗体显示。在所有情况下，误差越小，拟合越好。此外，表1使用颜色编码来表示每位参与者最佳近似（Er_min）的相对误差百分比。相对误差分为<10%、10%至50%之间、50%至90%之间和>90%。认为相对误差值<10%时，模型能正确近似FDC类型。

可以得出结论，虽然在某些情况下该方法提供了明确的标准，但在其他情况下可能令人困惑（例如P₄、P₁₂和P₁₄）。尽管所有案例的最佳拟合相对误差均低于10%，但如表1所示，该模型在17/20案例（85%）中模拟了每种FDC类型，剩下3/20案例（15%）未成功建模。对于新模型，P₄与I型一致，P₁₂与IV型一致，P₁₄与II型一致。

与主观分类相比，一致性为15/20案例（75%），剩下五个案例不一致，具体为P₂、P₇、P₁₂、P₁₄和P₁₇。实际上，经验验光师的主观标准与II型、III型和IV型的一致性为100%。然而，I型的一致性较低，为8/13（61.5%）。

下面更详细地讨论一些有争议的案例。表2显示了参与者12（P₁₂）和14（P₁₄）的实验数据。对于P₁₂，I型、II型、III型和IV型的相关误差分别为16.13、14.88、14.88和14.66，II型、III型和IV型的相对误差百分比均<10%。因此，基于分析，这些结果未能与任何近似正确对齐。然而，最不准确的近似对应于IV型，显示出略低的误差，尽管验光师的主观分类是I型。图4（面板a）展示了该参与者的函数图。

类似地，表2显示了P₁₄的实验数据。根据模型近似的相应函数如图4所示。I型、II型、III型和IV型的相关误差分别为9.69、9.61、10.08和10.82。可以看出，这些结果与所有FDC类型的近似拟合都不太好（见表1）。例如，模型将P₁₄分类为II型，因为它显示出 marginally 较低的误差，但被验光师主观归类为I型。请注意，这些结果基于应用于注视差异的±10弧分约束。虽然其他分类在替代约束下可能导致不同结果，但这些限制是专门根据数学模型开发（研究1）中的描述选择的。

由于斜率是分析FDC特性的基础，计算了斜率以检查开发模型与使用通用三次多项式函数获得的斜率之间的差异。使用通用最佳拟合三次多项式f(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + b₃x³计算的斜率，由公式2给出，为S = (f(3) - f(-3)) / 6。

从应用于每类FDC的模型计算出的斜率分别由S₁、S₂、S₃和S₄给出。

在研究中，斜率是用于比较组或调查与临床结果关系的关键变量。本研究显示，使用通用三次多项式拟合计算的斜率与从推导出的初等函数获得的斜率存在显著差异。这些发现强调了使用适当的初等函数准确拟合FDC的重要性，而不是依赖通用模型。正确的分类和函数拟合至关重要，因为它们直接影响产生的斜率值，进而影响数据的解释。不准确的拟合可能产生不正确的斜率值，可能导致科学研究中的误导性结论或临床评估中的无效判断。

讨论

本研究旨在开发一个全面的数学模型来表征四种类型的FDC，并增强研究和临床分析的稳健性。为实现此目标，进行了一项理论研究，利用初等函数对四种不同类型进行分类，同时考虑其形状和对称中心。第二项研究使用来自20名具有不同FDC形状的参与者的实验数据验证了模型，并应用开发的模型对所有FDC进行分类。此外，还将三位验光师和三位数学家的主观分类标准与模型分类进行了比较。

确定三位验光师在FDC类型分类上存在差异，尤其是对于I型。所有验光师在临床和理论上都熟悉注视差异和FDC的概念。有趣的是，所有数学家对20条FDC的主观判断达成一致，并且与模型的一致性达到100%，而验光师仅在20个案例中的15个（75%）与模型一致。总体而言，模型在20个案例中的17个（85%）准确模拟了每种FDC类型，剩下一些分类标准不太明确。这凸显了需要一种客观模型来分类FDC。

具体而言，参与者P₂、P₇、P₁₂、P₁₄和P₁₇的形状分类与开发的模型或数学家的主观分类不完全一致。一方面，在P₂、P₇和P₁₂案例中，确认模型与Ogle给出的经典分类一致（见图1）。另一方面，从数学角度来看，根据开发的模型，P₁₄和P₁₇的分类显然是正确的。即使在模型内部，一些分类也表现出最小误差。例如，对于P₁₄，误差为9.61，即<10%。尽管如此，模型为P₁₄提供了三种分类选项，即I型、II型和III型，这与主观分类势均力敌。

这些差异表明，主观分类标准，尤其是在验光师中，可能更多地受到验光数据、临床经验和视觉症状的影响，而不是FDC本身的数学特征。验光师依赖其关于注视差异及其临床意义的知识，这可能导致他们优先考虑经验模式而非严格的数学分类。相比之下，从纯粹分析角度处理问题的数学家仅根据FDC的函数属性进行评估，从而与开发的模型具有更高的一致性。对于P₁₄和P₁₇这些即使在模型内部也存在分类模糊性的案例，这种视角差异显而易见。

本研究中开发的模型考虑了一些必须考虑的理论背景。首先，它考虑了I型的a₀在-10和10之间，以及IV型的a₀在-10和10之间，以便将对称中心固定在x轴和y轴的-10/10之间。这表明模型将注视差异限制在≤10弧分。然而，应注意的是，所提出的方法可以通过简单地适当调整10和-10的值来轻松适应那些边际且不常见的>10弧分的注视差异。另一方面，我们确定了II型的a₀ ≤ -10，III型的a₀ ≥ 10，以及IV型的a₀在-10和10之间。请注意，通常当值在这些范围内时，这种方法确保了连贯的模型。临床上，该有限范围得到文献支持，表明I型和IV型的对称中心通常落在这些界限内。此外，很少观察到II型的渐近线超过+10弧分（内隐斜）或III型低于-10弧分（外隐斜）。

还探索了其他初等函数来描述图1中的每种类型。然而，在进行一系列实验后，确定基于分析，本方法中提出的函数是最合适的。例如，最初考虑函数f(x) = a₀ / (1 + e^{-a₁(x - a₂)})用于I型，该函数假设只有一个拐点。然而，使用该函数获得的结果与使用提出的函数f₁(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³获得的结果相当。

另一个必须讨论的问题是需要多少点才能准确建模FDC，以及更多点是否能使分类效果更好？根据Wesson注视差异卡手册以及Scheiman和Wick的说法，总共七个点（0、3BI/3BO、6BI/6BO和12BI/12BO）足以快速确定形状和对称中心。然而，本研究使用不同的聚散需求来确定曲线（0、5BI/5BO、10BI/10BO和15BI/15BO）。尽管在量级上略有不同，但点的数量保持不变。实际上，先前出版物中存在较大差异，使用不同的点来确定FDC。例如，Hashemi等人使用0、3BI/3BO、6BI/6BO、9BI/9BO和12BI/12BO（总共10个点），而Frantz和Scharre使用0、3BI/3BO和6BI/6BO（总共5个点），Daum等人使用0、3BI/3BO、6BI/6BO和12BI/12BO（总共7个点）。虽然增加聚散需求值的数量似乎可以改善函数拟合，但这一说法在数学建模方面存在局限性。

应该指出，当增加聚散需求值的数量以计算最佳拟合多项式函数时，可能会发生龙格现象。该现象表明，使用高次多项式时可能会出现振荡，这可能导致插值精度下降而非提高。请注意，通常需要n次多项式才能获得通过给定的n+1个点的多项式函数。虽然开发的模型可以纳入更多点以更好地调整初等函数并改善每类FDC的近似是事实，但使用7-10个点足以从数学角度捕捉FDC的基本特征，并确保曲线在临床背景下保持具有代表性和可解释性。

FDC的斜率对于研究和临床目的都是一个重要变量。本研究中，斜率计算显示使用通用三次多项式拟合与从推导出的初等函数获得的斜率存在显著差异。这些发现强调了使用适当的初等函数准确拟合FDC的重要性，而不是依赖通用模型。正确的分类和函数拟合至关重要，因为它们直接影响产生的斜率值，进而影响数据的解释。不准确的拟合可能产生不正确的斜率值，可能导致科学研究中的误导性结论或临床评估中的无效判断。

需要澄清的是，在此上下文中，“斜率”指的是两个聚散需求点之间注视差异的变化，通常位于曲线的中心区域。这是一个明确的差异，而不是特定点处的导数。虽然“斜率”一词在数学上可能暗示导数，但这里用于表示两个聚散需求之间的平均变化率。

如前所述，函数f₁(x)由于其固有形状在原点附近表现出更陡的斜率，而f₂(x)、f₃(x)和f₄(x)在该区域显示出更渐进的变化。这种行为在图2和图4中直观地展示出来，其中模型之间斜率模式的对比是显而易见的。

尽管本研究的主要目的是为FDC开发数学模型，但这些模型源自特定样本。因此，尽管它们捕捉了关键的数学特征，但并非旨在取代全面的视觉评估，后者在临床实践中对于全面评估双眼状态仍然至关重要。虽然对称中心或斜率等参数可以在临床上测量，但所提出的数学模型通过使用适当的初等函数拟合每类FDC，并考虑对称中心的特性，来考虑这些测量的可靠性和客观性。这种方法在主观分类FDC类型时减少了偏差，并提供了准确的斜率计算。这种客观性可以为临床决策提供支持，在FDC类型模糊或临床体征与患者症状不完全一致的情况下提供额外的证据层。

具体而言，视觉症状的存在和严重程度、集合近点、隐斜视、融合性聚散储备和调节功能等因素在准确诊断双眼视觉异常中发挥着不可或缺的作用。FDC提供了关于聚散动力学和差异驱动适应的宝贵见解，但它们并未捕捉到动眼功能的全部范围。因此，虽然此处开发的数学模型增强了对FDC的稳健分析，但必须辅以包含这些额外参数的临床评估，以确保对视觉诊断和管理采取更好的临床方法。此外，本研究中获得的实验性FDC是使用Wesson卡获得的；可以使用其他仪器，例如Saladin近点平衡卡或Sheedy差异计，但这些方法不可互换。另外，尽管其他技术可以达到更好的精度，但本研究中开发的每类FDC的数学模型可以推广使用。

总体而言，本研究开发并验证了一个数学模型来表征不同类型的FDC，为临床和研究应用提供了一个客观且稳健的工具。研究结果强调了整合数学模型以提高FDC分类准确性和一致性的重要性。更大、更多样化的数据集将有利于评估所提出模型在不同人群和临床条件下的普适性和稳健性。