基于地下水头数据的一维非均质含水层导水系数估计：时间与频率域视角的比较研究

《Water Resources Research》：Estimating Transmissivity in One-Dimensional Heterogeneous Aquifers With Groundwater Head Data: From Time or Frequency Perspectives

本文系统比较了从时间域和频率域视角利用地下水头数据估计一维非均质含水层导水系数（T）的方法。研究引入等效导水系数（Teq）和解释导水系数（Tin）概念，并利用Fréchet核作为空间权重函数建立其与异质T场的联系。通过蒙特卡洛模拟和地质统计学反演，证实多频率波动数据的振幅和相位偏移比单一时间域水头数据能更有效刻画含水层异质性，为水文地质参数估计提供了新的理论框架和实践路径。

　　

1 引言

含水层水力参数（如导水系数T和储水系数S）的空间异质性控制着多尺度地下水流行为。准确确定T是改善地下水资源管理的关键。传统参数估计方法假设地下系统可由一个或几个均质单元表示，然后通过地下水流解直接反演等效参数。等效参数定义为在单个实现中特定空间范围内的平均值，因此通常被视为异质参数分布的均质表示。

自然地下系统本质上是异质的，这促使人们提出了比传统估计更详细的水力参数表征方法。水力层析成像（HT）和振荡水力层析成像（OHT）通过分析由抽水/注水等人工激励引起的水头变化和波动，用于大尺度评估。HT被表述为一个正式的反问题，利用来自一组抽水/注水井及观测井的状态变量（水头或波动）测量值以及先验信息来表征水力参数分布。

半无限、一维、承压含水层对由大气压力变化、周期性固体地球潮汐以及与河流湖泊的水力相互作用等自然因素引起的机械应力表现出响应。这些响应信号可以通过时间域和频率域两种方法进行分析。两者都为表征含水层异质性提供了独特的途径，为含水层导水系数提供了宝贵的见解。

如前所述，许多研究已经检验了利用时间信号直接估计T空间统计结构的潜力，使用单个实现的空间平均值，包含通过时间域技术获得的水头降深或降深的时间导数。结果表明，基于降深的等效导水系数T_eq和基于降深时间导数的解释导水系数T_in取决于空间T的调和或几何平均值。对于二维抽水试验下的时间域视角，T_eq受导水率场的调和平均值和算术平均值的约束，并与观测降深的时间有关。

对于频率域视角，等效导水系数值已在裂隙介质中通过周期性抽水试验进行。Renner和Messar提出，根据振幅或相位偏移估计的T_eq随周期变化，并且估计值T_eq在接近四个数量级的周期变化范围内跨越了五个数量级以上。他们的研究表明，T_eq的周期依赖性受水力特性空间异质性的控制，并将其解释为通道中流动"主干"与周围停滞区之间流动相互作用的结果。此后，许多现场研究揭示了T_eq估计值明显的周期依赖性，并报告在裂隙基岩中T_eq估计值随抽水周期增加而减小。

地质统计学反演方法解释来自合成数值实验的时间相关水头或频率相关波动，并用于估计整个域上的T。选择加入反演的时间或频率会影响反演结果。Sun等人发现，在Cooper-Jacob方法中降深为零的内插时间与大部分含水体的储水系数（S）高度相关。他们还发现，在估计异质水力参数时，观测井的晚期降深与整个含水层的导水系数（T）密切相关。然而，在频率域中，多频率信息在改善反演结果方面的有用性仍然存在争议。

仍然需要可以应用于水头数据的方法来提高我们对含水层周围异质T场的理解。在二维域中，当井位于无限大储层中时，Oliver引入了一种扰动方法来解析推导出具有小的任意空间渗透率变化的权重函数。石油储层中压力的瞬时斜率被表述为渗透率变化乘以Oliver权重函数的体积积分。Avci和Ufuk Sahin使用该方法分析试井数据以表征异质T场的变化。

在水文地质学中，灵敏度图，或更正式地称为Fréchet核，测量单个水头观测对感兴趣区域内所有独立空间参数的灵敏度，作为空间权重。与地球物理学中Fréchet核长期广泛使用不同，HT或OHT中的Fréchet核包含时间或频率分量。这使它们不仅能够识别最高灵敏度的位置，还能在不同的激励时间或频率下有效地"采样"不同的地下异质性。此外，Fréchet核作为空间权重，可以建立T_eq、解释导水系数T_in与基础异质导水系数（T）场之间的联系。最近，Zhu等人推导了一维含水层在时间域和频率域的Fréchet核。他们发现，水头观测和波动振幅的灵敏度相对于T分布显示出相似的空间模式。

总之，以前的研究只关注从时间或频率视角进行数据解释或反演。因此，本文的主要目标是研究在不同情景下T的统计空间结构或空间分布的估计，涉及从由两个基本解产生的不同时域和频域数据估计T。

2 理论

2.1 控制方程

2.1.1 时间域基本解

半无限、一维、承压、异质含水层中由变水头边界引起的水力水头变化可由以下方程量化。假设储水系数S是已知常数，仅考虑T场的反演。初始和边界条件给定。由于方程是线性的，变水头边界问题的解可以通过叠加原理获得。考虑边界处单位脉冲引起的解，一般水头解由时间卷积给出。在储水系数和导水系数空间均匀的情况下，解可以解析获得，例如边界阶段变化的情况。

2.1.2 频率域基本解

为了在频率域求解方程，将边界处的h_B(t)分解为一系列不同频率和振幅的周期性波动。水头波动h(x,t)可以在频率域中按频率升序展开为h_j(x,t)。振幅A_G,j(x)和相位偏移φ_G,j(x)可以计算。代入方程后，得到一系列关于波动分量j的常微分方程。对于单频波动边界，解可以直接获得，包括振幅和相位偏移的表达式。水头可以写为傅里叶系数的形式。通过时间卷积或叠加，可以从时域和频域两种方法恢复原始时间序列。

2.2 使用均质模型解的等效或解释T

代表性导水系数（等效和解释T）可以定义为均质介质的那些。然而，当应用于异质含水层时，通过常规方法获得的估计值随着降落漏斗随时间扩展或信号穿透深度随周期变化而变化。因此，确定等效/解释T的方法基于方程及其关于周期或时间的导数。

在时间域，等效导水系数T_eq可以通过观测水头直接推断。水头解对时间的导数可以计算，两者之比可以唯一确定T_in。在频率域，等效导水系数T_Aeq和T_φeq可以分别通过观测振幅和相位偏移直接推断。提出了一个由振幅对周期导数计算的解释T_Ain。由于相位偏移是周期函数，直接从中推导解释T可能不简单。同样，从傅里叶系数推断等效/解释T也很困难。

2.3 使用异质T和Fréchet核的等效或解释T

等效/解释T的方法可以通过异质T分布和空间加权函数计算加权平均值。空间加权函数源于Fréchet核及其导数。假设T可以表示为均匀值和一个扰动项。Fréchet核等同于格林函数形式主义，可以推导出空间加权函数来近似T_eq和T_in。给出了时间域水头、频率域振幅和相位偏移的T的Fréchet核解析表达式。

利用无量纲Fréchet核，可以将时间或频率相关的导水系数估计值转换为距离相关函数。换句话说，在从水头/振幅数据在任何特定时间或周期估计等效/解释T之后，可以将时间t或周期t_p映射到距离x。

2.4 地质统计学反演方法

为了描述T的空间分布，提出了使用从多个观测点单独和联合生成的合成水头或振幅数据的地质统计学反演。采用连续线性估计器（SLE）算法来估计参数。它使用线性估计器迭代地确定条件有效参数场。未知水力参数，如T的自然对数，组成未知向量。假设观测到水头波动在不同频率的振幅和/或相位偏移或不同时间的水力水头。给定观测的参数场估计是迭代确定的。迭代更新在模拟和观测水头的均方误差小于指定容差或估计参数的空间方差在连续迭代间增加不显著时终止。

3 数值实验和示例集描述

在所有案例中，假设储水系数是均质的，边界处的水头或振幅设定。设计了几个案例来总结和比较用于T估计的时间或频率数据。

3.1 确定性反演：两区含水层

考虑一个两区含水层，一个区域宽度有限，另一个区域无限宽，分别称为河岸带和高地带。推导了这种两区含水层中地下水波动的频率域基本解。给出了时间域中边界阶段变化的解。设计了一个两区承压一维含水层来比较水头响应信号和波动响应信号之间关于T的信息内容。比较了在不同对T₁和T₂下观测位置的h、A_G或φ_G的大小。测试了多时间和多频率水头响应是否携带关于T异质性的非冗余信息。还测试了相位包裹对反演的影响。评估了在不同S情景下识别T₁和T₂对的有效性。

3.2 统计空间结构：代表性流动参数估计

含水层长度离散成均匀块。每个材料块的T被视为随机场，具有相关尺度。T的随机场由指数协方差函数表示。在一个观测点模拟h、A_G、φ_G、a_G和b_G。然后使用观测点水头或振幅的演变来估计时间域或频率域的等效T和解释T。允许比较时间相关或频率相关导水系数估计值与距离相关的几何平均值。然后数值研究基于Fréchet核的空间加权函数的有效性以及相应导水系数之间的关系。使用蒙特卡洛模拟来评估在100次模拟的集合上时间和频率域方法的性能。

3.3 地质统计学反演：空间结构估计

为了比较不同频率和时间观测对估计异质T的有效性，设计了一系列反演测试，以比较不同观测类型对反演性能的影响。使用100个先前定义的T场的随机实现进行测试。对于每个实现，使用不同的数据类型和不同数量的频率或时间点进行反演，并基于集合平均估计精度比较结果。观测位置设定。为确保时间和频率选择的一致性，根据每个观测位置的最大灵敏度选择时间和周期。选择一个或三个特定频率或时间，并吸收不同类型的观测值。采用均方根误差（RMSE）来评估反演结果。

4 结果与讨论

4.1 两区T反演

通过将基本案例输入参数应用于正向模型，获得时间域和频率域下的观测值。然后选择性地将这些值用作后续研究中的虚拟观测值。

研究了具有不同类型观测在不同时间或周期的参数搜索空间。振幅值随T₁和T₂变化平缓，而相位偏移变化剧烈。比较不同频率下的T_eq估计值，发现在较高频率下，观测值随T₁或T₂单调变化，更容易识别真实的T对。而在较低频率下，对于一个观测到的A_G，可能有多个T₂值对应一个固定的T₁。多频率信息的价值在A_G的拟合中显而易见。虽然使用两个A_G信息可能导致T₁和T₂对，但同时使用三个频率可以产生唯一的真实T对。频率差异越大，在真实T处相交的两条交叉线之间的角度越大。对于相位偏移观测，S的大小对T₁和T₂的反演有很大影响。幸运的是，即使对于相同的频率，来自A_G和φ_G的信息不是冗余的，并且可以基于单个频率在t_p=0.5 d的A_G和φ_G观测值确定唯一的T对。当然，也显示了由于相位函数非唯一性导致的相位包裹拟合线。

时间域水头观测的情况与振幅观测相似。相同的性质也存在于时间域，在后期，对于一个固定的T₁，可能有两个T₂值，并且非单调性在时间域更明显。还确认多时间水头观测可以提供非冗余信息，从而改善反演性能。

因此，虽然时域和频域观测都为两区T估计提供了有价值的信息，但频域数据具有明显优势。在一个或多个频率结合使用振幅和相位偏移引入了非冗余约束，可以比单独时域水头数据更有效地确定唯一的T₁和T₂对。相位偏移信息的加入使得频域方法能够改善反演建模性能。

探索了不同均质S值下的参数搜索空间。通过比较，观察到随着S减小，使用三个固定频率反演T对变得越来越困难。虽然足够小的S减少了相位包裹对T₁和T₂搜索空间的影响，但也导致由不同频率的振幅或相位偏移形成的解空间线之间的角度变小。这导致解空间之间更大的重叠，使反演问题更不适定。这意味着即使振幅的微小扰动也可能导致估计的T₁和T₂值出现较大偏差。换句话说，当S减小时，我们在设置中选择的频率响应变得更加相似，将以前的非冗余信息变成冗余信息，削弱了多频率观测对约束唯一T对的好处。

类似地，在时间域中，对应于三个选定时间点的解曲线在真实参数值附近几乎重叠。这种重叠表明，随着S减小，选择的观测时间不足以确定唯一的T对。

4.2 代表性T估计

在以下模拟集中，将T场视为空间随机函数的实现。显示了两个T场（A和B）的T_g(x)图。两个点表示从边界到观测点处的局部尺度几何平均导水系数。

比较了时间域和频率域中两个随机选择的实现的等效导水系数和空间加权等效导水系数。允许将时间或频率相关导水系数转换为空间相关T。图还显示了T_g(x)作为距离函数的相应图，以及从边界到观测点的局部尺度几何平均导水系数。

时间域中T_eq和T_eq^F之间的一致性令人满意，但随着距离（时间）增加而减小。这种差异是由于Fréchet核加权引起的，该加权使用一阶扰动方法推导并假设无限范围含水层。因此，T_eq^F不能在高度异质域中完全再现T_eq，特别是在后期，本研究中的有限域尺寸可能导致偏差。类似地，T_Aeq和T_Aeq^F之间以及T_φeq和T_φeq^F之间的强一致性表明，T_eq可以使用基于频率的Fréchet核作为空间权重来近似，包括振幅和相位偏移，类似于时间域。这是因为时间和基于频率的Fréchet核在时间和频率上表现出相似的模式。利用Fréchet核，时间相关或周期相关的等效导水系数与整个域的异质T相关。

虽然作为时间或频率函数的导水系数估计值与几何平均导水系数显著不同，但T_eq与局部尺度几何平均导水系数相关。T_eq值在早期较高，随时间迅速衰减到T_g(x_o)附近，然后围绕该值波动。T_Aeq图没有清楚地反映T_g(x)的趋势。然而，可以从高频数据推断观测点处的几何平均导水系数。T_φeq围绕T_g(x_o)的值变化。从相位偏移推断的T_φeq显示出与T_eq相似的特征。

随着水头或振幅和相位偏移数据随时间或频率被观测到，来自强迫边界的压力传播影响含水体的更大部分，使得难以推断边界附近的局部T值。对于更远的观测点，水头数据在空间异质场中变得足够稳定，含水层表现得像一个等效的均质介质。因此，当观测井位于距离抽水井超过T场积分尺度的位置时，所提出的方法可以潜在地产生局部几何平均导水系数信息。

比较了时间域和频率域中两个随机选择的实现的解释导水系数和空间加权解释导水系数。与图中的T_eq不同，T_in和T_in^F之间的分歧更为明显。T_in值可能在观测点附近发散到无穷大，然后恢复正常。这种异常行为源于Fréchet核的行为，它在观测位置之前呈现正区，之后呈现负区，并在该位置出现不连续性。这种不连续性导致离散数值模拟中导数的值偏离理论值。然而，T_in随距离的整体趋势与T_in^F相似。

时间域和频率域中的T_in值都围绕T_g(x_o)的值振荡。这表明仍然可以从高频或早期数据推断T_g(x_o)。

在前面的例子中，时间域和频率域中提出的方法应用于两个选定的导水系数场，产生了局部尺度T_g(x_o)的准确估计。在以下部分中，使用蒙特卡洛模拟来评估这些方法在模拟集合上的性能。选择观测时间和观测周期。

呈现了基于100次蒙特卡洛模拟的T_eq或T_in与观测点处T_g(x_o)比较的箱线图和平均RMSE。结果表明，高频和早期数据始终产生更准确的估计，T_eq和T_φeq在频率和时域估计中表现出比T_in和T_Ain更大的稳定性。虽然从早期数据计算的T_eq提供了最准确的估计，但在现实条件下信噪比显著较低。在这种情况下，反演模型不能完全忽略观测误差对水头数据的影响。还发现，在等效T估计中纳入相位偏移数据在所有情况下始终为局部尺度T_g(x_o)产生最准确的结果。

局部尺度导水系数的最佳估计是使用从高频相位偏移数据推导的等效导水系数T_φeq获得的。在这个频率下，均质含水层在观测点处的相位偏移小于2π，因此不会发生相位包裹。此外，使用等效T_eq避免了求解时间或周期导数的复杂性，使其在现实应用中更抗观测误差。

对于中频或中时信号，从水头和振幅数据估计的T_eq在含水层统计参数估计中引入了显著偏差。相比之下，T_φeq估计更稳定，并提供更好的结果。对于低频或晚期信号，从水头和振幅估计的T_eq和T_Aeq都无法准确估计T_g(x_o)。这是因为在后期或较低频率下，压力信号传播到含水层的更广区域，从而降低了对边界附近局部异质T的灵敏度。然而，在这个阶段，从相位偏移数据推导的T_φeq表现良好。

4.3 异质T反演

如前所述，比较了通过吸收不同数量的频域和时域数据对T的估计。比较清楚地表明，多频率和多时间数据都可以显著改善反演，这支持了在二维域中进行的振荡抽水试验中使用多个频率提供关于含水层流动参数的额外信息的断言。这一结论与Wang等人的结论不同，他们声称多频率信息并不一致地提高含水层表征的分辨率。然而，许多研究已经证明，他们的结论可能源于使用具有相似灵敏度结构的窄频率范围，这导致了不一致的结果。相比之下，我们的频率选择始终基于Fréchet核，选择对应于最大灵敏度的周期。因此，使用有效的多频率数据改善了含水层异质性的成像和分辨率。

在一维案例中，吸收频率信息以改善异质T反演精度比时域水头信息更显著。吸收额外的相位偏移信息可以进一步改善反演结果。可以发现，吸收傅里叶系数（a_G和b_G）可以产生最好的T估计，因为使用傅里叶系数允许更线性的灵敏度传播。然而，在实际应用中，振幅和相位偏移数据通常比复杂的傅里叶系数更直观和可解释，特别是在将反演结果与数据中物理可观测模式联系起来时。

含水层中的参数分辨率是指通过观测数据的反演建模准确清晰估计水力参数空间分布和幅度的能力。分辨率可以使用迭代过程中参数的空间方差来经验量化。说明了给定示例中反演迭代期间的方差变化。结果表明，当仅吸收单个时间或频率数据时，水头观测和傅里叶系数观测中的参数方差在迭代过程中超过了实际参数方差，表明反演过程中存在过拟合。然而，当吸收三个时间或频率数据以及H和傅里叶系数观测时，反演参数的方差在迭代过程中逐渐收敛到实际参数的方差。此外，结合多频率或多时间信息提高了同化RMSE和R²与单一数据相比。这些发现表明，利用多频率和多时间数据提高了反演参数的分辨率。

为了获得更一般的结论，我们进行了蒙特卡洛反演，以评估不同信息在模拟集合上的性能。当仅吸收一个时域或频域信息时，频域信息，特别是傅里叶系数，优于时域信息。当仅吸收一个频域观测时，吸收相位偏移信息由于相位包裹不利于T识别。随着吸收的频率和时间数量增加，我们发现多频率或多时间信息可以显著改善反演。在这种情况下，吸收傅里叶系数信息进一步促进了T的估计。当有多个时间可用时，通过反演水头可以获得可接受的T估计，并且精度与单独吸收振幅信息大致相似。然而，当同时吸收振幅和相位偏移信息时，基于频率的反演被证明比时域水头信息更有效。类似地，当同时吸收振幅和相位偏移信息时，多频率数据产生最准确的估计，这是由于它们比振幅和相位偏移具有更线性的灵敏度传播。

5 结论

本研究基于从时间和频率域视角的两个基本解，并比较来自这两个解的数据以揭示关于一维含水层导水系数T的信息。通过比较用于表征T的时域和频域数据，本研究的结果可总结如下：

1. 1.
   对于由两区导水系数（T）组成的含水层的反演，多频率和多时间数据都有助于确定唯一的T对。频域数据具有显著优势，因为相位偏移的引入带来了时域水头数据中不存在的非冗余约束。虽然我们假设储水系数（S）是均质的，但我们通过分配不同的均质值来探索其影响。我们发现，当使用相同的时间或频率信息时，较大的S更有利于时间域和频率域中的反演建模。
2. 2.
   我们研究了两个代表性导水系数——等效导水系数（T_eq）和解释导水系数（T_in）——与来自时间和频率域视角的异质T场之间的关系。通过将Fréchet核作为空间权重应用于异质T场，我们计算了加权导水系数T^F。我们发现T_eq可以通过加权导水系数T_eq^F很好地近似，使用Fréchet核本身作为空间权重。相比之下，T_in似乎不能很好地由T_in^F近似，后者使用Fréchet核的导数作为空间权重，无论是在时间域还是频率域。这些发现表明，Fréchet核提供了一维含水层中等效T_eq与异质T场之间的联系。
3. 3.
   使用早期或高频观测的T_eq和T_in估计可以在蒙特卡洛反演下产生局部尺度几何平均值（T_g(x_o)）的准确估计。基于无量纲Fréchet核，我们提出了代表性导水系数估计的频率和时间选择方法。我们表明，在设计的案例中，T_g(x_o)是从高频相位偏移数据推导的等效导水系数T_φeq最优估计的。
4. 4.
   多时间或多频率信息通过选择包含最有效观测数据的最佳时间或周期，增强了表征的导水系数（T）分布的分辨率。由于包含了相位偏移信息，频域信息在反演建模中提供了优于时域水头数据的改进。当吸收傅里叶系数时，基于频率的反演产生最准确的估计。

尽管我们的研究结果表明，使用频域信息进行反演在估计T方面优于时域水头数据，但必须承认，在宽范围获得可靠的频率内容需要长的观测周期和密集采样的时间序列。此外，尽管频域分析在减少观测白噪声方面具有固有优势，但未来的工作将旨在通过明确添加水头测量噪声来扩展我们的合成测试，以便在未来比较现实数据中的时域和频域信息。