基于变换光学的太赫兹全介质麦克斯韦鱼眼透镜波导交叉器实现低损耗信号路由

《Laser & Photonics Reviews》：Terahertz All-Dielectric Maxwell Fisheye Lens Waveguide Crossings via Transformation Optics

本文报道了一种基于变换光学设计的全硅太赫兹波导交叉器，通过保角变换将圆形麦克斯韦鱼眼透镜（MFL）重塑为多边形结构，显著改善了与平面波导的集成匹配。研究采用有效介质技术，在220-330 GHz频段内实现了低至1.2 dB插入损耗和低于-50 dB串扰的2×2及3×3交叉器，其紧凑结构（直径3.66λ0）支持准TE/TM双偏振操作，为太赫兹集成光学提供了宽带、低损耗的解决方案。

　　

摘要

太赫兹波导交叉器对于单片平台上的紧凑集成信号路由至关重要，但简单的波导交叉口由于波导通道重叠区域的模式失配而存在高损耗和串扰问题。具有固有成像特性的麦克斯韦鱼眼透镜（MFL）是多通道交叉口的优秀解决方案，然而其圆形形状不易与常见的平面输入/输出波导集成。本文介绍了基于通过保角变换光学重塑的麦克斯韦鱼眼透镜的全硅波导交叉器，旨在改善太赫兹范围内的平面波导集成。利用亚波长空气孔的有效介质技术，设计并制造了在220–330 GHz频带上工作的2×2和3×3交叉器。变换后的透镜能够实现无像差成像且无模式失配，通过单步深反应离子刻蚀工艺实现。实验表征显示，对于基本准横电（TE）模式，平均插入损耗为1.2 dB，串扰低于–50 dB，在整个220–330 GHz频带具有40%的带宽，同时准横磁（TM）模式也得到支持，可用于双偏振应用。变换后的透镜直径仅为4 mm（在275 GHz时为3.66λ₀），而包括输入和输出锥形渐变结构在内的总器件占用面积为11.5 × 11.5 mm2。这种方法可扩展至M×M波导交叉器，为低损耗太赫兹集成光学提供了宽带且紧凑的解决方案。

1 引言

太赫兹波在电磁频谱中位于微波和红外区域之间，为高分辨率成像、超快无线通信和光谱学提供了独特的能力。实用的太赫兹系统需要结合高效率、宽带宽和可扩展制造的紧凑单片平台。传统的金属波导和传输线在较低频率下有效，但在太赫兹频率下会遭受不可忽略的欧姆损耗和组装复杂性。因此，近年来出现了向全介质集成太赫兹光学的范式转变，其中高电阻率浮区硅等低损耗介电材料能够以最小耗散和单片集成实现波导传输。已经提出了各种集成有源和无源组件的平台，如光子晶体波导、有效介质波导、拓扑波导、无包层波导、3D打印波导等。

由于有效介质平台已展示出的多功能性，梯度折射率介质在太赫兹领域尤其具有吸引力，因为其设计和制造相对简单。通常，在硅片上定义通孔网格。这些空气孔与硅主体介质结合构成有效介质，只要网格周期处于亚波长范围内，就可以使用有效介质技术进行电磁分析。然后，通过改变通孔的直径，可以设计介质的介电常数以创建梯度折射率通道。整个制造过程可以在单次刻蚀步骤中完成，从而产生简单而高效的导波平台。使用这种技术，已经实现了许多器件，如龙伯透镜天线、作为片上光束发射器的半麦克斯韦鱼眼透镜、超透镜等。

波导交叉器是密集和紧凑集成不可或缺的组件，通过物理路径的交叉实现信号路由，同时保持最小的损耗和串扰。传统的交叉口由于交叉区域的模式失配而存在此类损耗和串扰。为了补偿这些损耗，已经提出了各种技术，如波前平坦化、多模干涉、亚波长光栅、形状优化等。

麦克斯韦鱼眼透镜是一种光学仪器，可将其边缘上的每个点源无像差地映射到透镜对跖点上的单个像点。因此，该透镜是实现波导交叉器的优秀候选者。然而，在实践中，必须使用输入和输出波导作为馈源和接收器，并且波导模式的平面波前与MFL所需的理想点源的球面或柱面波前之间的失配会导致像差，从而产生损耗。换句话说，将MFL简单地对接至波导模式本质上是损耗大的。已经提供了几种解决方案来解决这个问题。例如，有作者使用介质槽波导作为馈源来近似点源，利用槽模的强场限制从而提高模式匹配。然而，介质槽波导使用准横电模式工作，因为准横磁模式限制性差，因此禁止了双偏振操作。另有研究提出使用变换光学技术来改变MFL的形状，并通过改变硅厚度在绝缘体上硅上实现折射率分布。虽然这是一种真正的梯度折射率方法，但该技术需要灰度光刻，与在介电衬底上刻蚀穿孔相比，制造更为复杂。实现变换MFL的其他方法包括梯度光子晶体，然而，光子晶体通常比有效介质平台带宽有限。在本工作中，我们利用保角变换光学来变换透镜的折射率分布并使其原本的圆形界面平坦化，从而减少与馈电波导的模式失配。使用这种技术，可以实现M×M交叉网络，其梯度介电常数分布通过有效介质技术实现。在以下章节中，我们将详细介绍2×2和3×3波导交叉器的设计、制造和表征，展示了在220–330 GHz频率范围内的优异性能。

2 设计

2.1 麦克斯韦鱼眼透镜

麦克斯韦鱼眼透镜的折射率分布随径向距离变化，定义为n(r) = n₀ / [1 + (r/R)2]，其中r是距球体中心的径向距离，R是半径，n₀是中心处的折射率，n₀/2是透镜边缘的折射率。假设一个点源，MFL的操作是将透镜圆周上的一个点映射到对跖点。

该器件可以使用有效介质技术在平面几何形状的圆盘上实现，用于引导表面波。对于支持TE偏振波（E场位于xy平面）的穿孔硅片，其体有效介电常数由公式给出，其中ε_air=1是空气的介电常数，ε_Si=11.69是硅的介电常数，ξ=πd2/(2√3 p2)是填充因子，p是空气通孔的间距，d是其直径。晶格假设为六边形。

通过改变孔的直径d，可以在硅片上定义所需的分布。然而，对于平板中的导波，必须考虑平板模式。折射率公式对应于模态折射率，而模态折射率通过介电平板的色散方程与体有效介质折射率相关联。该方程适用于覆盖层和衬底均为空气的对称平板TE偏振模式。这个超越方程可以数值求解，并且给定所需的分布，可以通过有效介质公式获得相应的孔直径。对于电磁设计，基本平板模式TE₀被用作透镜体内传播波的近似，并且与相同偏振的准TE通道波导模式E^y₁₁不同。

2.2 有效介质

设计频率为300 GHz，使用的硅片厚度为200 μm。制造限制允许最大刻蚀纵横比为1:20，因此最小孔直径为20 μm。为了结构稳定性，优选10 μm的最小特征尺寸。最小孔直径对应于透镜的中心。该最小值越小，透镜边缘处产生的孔直径也越小，因为n(R) = n(0)/2。为了便于与输入/输出波导的过渡（这些波导通常由于硅的高介电常数而具有相对较高的有效折射率），优选最大化透镜边缘的折射率（从而最小化该处的孔直径）。因此，选择透镜中心的直径为20 μm，对应于折射率n₀=2.85。间距选择为p=90 μm，这在目标频带内处于亚波长范围。

2.3 变换光学

选择二维保角映射，将圆形MFL的形状变换为多边形，同时确保各向同性介质。更具体地说，使用了Schwarz-Christoffel映射。该映射定义了从虚拟域z中的单位圆盘内部到物理域w中给定多边形内部Ω的映射。在映射公式中，C是复比例常数，A是复平移常数，α_kπ是多边形在顶点w_k = f(z_k)处的内角，N是多边形的边数，z_k = f^-1(w_k)是多边形的预顶点，这些预顶点在一般情况下是未知的，需要数值计算。线积分在虚拟z平面内进行。

通过在虚拟域单位圆盘内部指定MFL折射率分布n_v(z) = n₀ / [1 + (z/R)2]，我们可以通过变换公式得到变换后的折射率分布n(x, y) = n_v(z) / |f'(z)|。

使用MATLAB的Schwarz-Christoffel工具箱进行数值变换，其中选择正多边形作为目标以简化设计并确保对称操作。对于M×M交叉口，相应的多边形有N=2M条边，正则性强制内角为α_kπ = [(N-2)/N]π。因此，2×2交叉口（总共4个端口）使用内角α_k=1/2的矩形，3×3交叉口（总共6个端口）使用内角α_k=2/3的六边形。顶点位置仅由多边形本身的顺序决定，在物理平面上围绕原点对称分布，并取决于所选多边形的大小。对于后者，没有硬性的设计规则；我们的目标是最小化占用面积，同时保持透镜区域足够大以符合平板波导形式。变换MFL折射率分布的类似方法在之前的研究中也有采用，但缺乏实验验证。关于扩展到M×M波导交叉口的补充说明在支持信息S2节中提供。

2.4 波导交叉口设计

选择集成MFL交叉口的直径为4 mm。对于多边形透镜，直径指的是其外接圆的直径。由于施加了10 μm特征尺寸的限制，最大允许孔直径为80 μm，最大填充因子约为0.71，对应于可实现的最小有效介质介电常数约为2.89。变换后的介电常数图中任何低于此值的区域都被钳制到可实现的最小介电常数。模拟证实场在这些区域（多边形拐角周围）可以忽略不计，因此这对器件性能几乎没有影响。

模拟显示了规则MFL的折射率分布。设计了3×3和2×2波导交叉口，分别有6个和4个端口。变换后的六边形模态折射率分布和相应的带有钳位值的有效介质体折射率分布被展示。同样，变换后的矩形模态折射率分布和带有钳位边缘值的体折射率分布也被展示。

将圆形MFL变换为多边形产生了平面的梯度折射率横截面，其中折射率沿传播方向和横向方向都变化。展示了两个透镜上的孔直径分布图以及梯度折射率光学的实际布局。边缘的平坦化有助于与输入/输出平面波导的匹配，但仍需寻求优化的波导。为此，我们寻求在保持低插入损耗的同时最小化输入/输出波导的宽度。选择沿传播方向具有梯度折射率分布的输入/输出，以逐步将输入/输出的折射率与透镜（平板）的折射率匹配。对六边形透镜 case 的手动优化产生了宽度为1067 μm、在交点处孔直径为59 μm的输入/输出波导段，在1 mm的锥形长度上逐渐减小到20 μm孔直径。对矩形透镜的类似过程产生了宽度为1220 μm、在交点处孔直径为56 μm的梯度折射率输入波导馈源，在1 mm的锥形长度上逐渐减小到20 μm。显示了透镜输入横截面和馈电波导横截面处的有效折射率，表明在整个频率范围内具有良好的折射率匹配。展示了没有渐进梯度折射率锥形输入时的|S₁₁|（使用相同宽度的未穿孔裸硅波导段）以及采用渐进梯度折射率锥形馈源段时|S₁₁|的改善情况，针对六边形设计。显示了六边形设计在透镜输入处和梯度折射率锥形馈电波导处的横截面电场分布。

最终设计的示意图被展示。除了直接馈入MFL段的梯度折射率馈源外，还采用了3 mm长的线性绝热锥形渐变结构，以提供从300 μm宽通道波导的平滑过渡。使用4 mm锥形尖峰作为直接馈源，连接到用于表征和激发光学的空心金属WR-3.4波导。这些尖峰还用作匹配负载，用于正确表征多端口器件，将杂散串扰功率辐射到自由空间。被测端口的尖峰插入频率扩展器的空心WR-3.4波导内部，提供从TE₁₀空心波导模式到准TE介电波导模式E^y₁₁的平滑过渡。器件由空气包层，有效介质部分提供结构支撑并将波导的引导部分连接到处理框架。这些有效介质部分尺寸为1.49 × 0.91 mm，提供波导和处理框架之间的完全隔离，并由直径为77 μm的穿孔组成。间距与MFL部分使用的相同。两个器件处理框架上蚀刻了两个直径为1.6 mm的大孔，以便于表征：可以将垂直的锥形/定位销插入这些孔中，从而使器件保持悬浮状态并水平调平。另一种常用的选择是使用镊子在处理框架区域保持器件悬浮。

3 表征

器件使用标准深反应离子刻蚀工艺在200 μm厚、电阻率为10–1000 kΩ·cm的硅片上通过单步刻蚀制成。对制造完成的器件进行检查后发现，透镜中心附近以及渐进梯度折射率锥形渐变起始处的较小孔未被完全穿透。为了研究这些盲孔对器件电磁性能的影响，我们对所示结构进行了单独的模拟。边长为700 μm的正方形内的孔仅被部分刻蚀到一定深度。此外，这些穿孔内部存在硅柱——不完全刻蚀的残留物。模拟显示了方形透镜在三种情况下的结果：完全刻蚀、部分刻蚀（刻蚀深度150 μm）和部分刻蚀（刻蚀深度100 μm，即200 μm晶片的一半）。虽然完全刻蚀的理想器件在整个频带内平均插入损耗为0.25 dB，但刻蚀深度为150 μm的器件引入了平均0.394 dB的插入损耗，而刻蚀深度为100 μm（半途）则引入了平均0.98 dB的插入损耗。没有观察到|S₁₁|的显著恶化，但平均串扰从完全刻蚀器件的–59 dB增加到150 μm刻蚀深度的–41 dB和100 μm刻蚀深度的–37 dB。在这些模拟中，仅考虑了透镜体积以及梯度折射率输入/输出锥形渐变，而忽略了绝热锥形渐变。关于制造缺陷影响的补充说明在支持信息S3节中提供。

模拟结果通过CST Microwave Studio 2023中的全波模拟获得，其中优先使用频域求解器，但当频域求解器计算成本过高时也使用时域求解器。模拟显示了六边形和矩形透镜在220、275和330 GHz下TE模式的电场分布。可以看出，透镜边缘附近几乎没有场，因此如前所述钳制这些区域对器件性能几乎没有影响。

器件的实验表征使用矢量网络分析仪（VNA; Rohde & Schwarz, ZVA-24）连接一对220–330 GHz频率扩展器（Rohde & Schwarz, ZC330）进行。经过典型的预热时间后，使用直通-偏移-短路-匹配校准标准进行校准，以消除系统误差，并将参考平面置于频率扩展器的法兰处，从而确保捕获的S参数仅对应于被测器件，不包括仪器中存在的额外传输线。VNA的中频带宽选择为1 kHz，提供了远低于器件串扰水平的噪声基底。校准后，将制造器件的耦合尖峰插入空心金属波导馈源内部，将TE₁₀空心金属波导模式转换为E^y₁₁介电波导模式，以便将太赫兹波发射到介电器件内部。通过交替探测端口并假设其余端口匹配，获得了完整的S参数，用于反射、直接传输和串扰测量，因为自由耦合尖峰将入射太赫兹波辐射到自由空间，充当匹配负载终端。这是太赫兹范围内多端口介电器件的标准表征技术。通过将频率扩展器旋转90°，从而改变电场方向，在器件中激发了准TE和准TM两种模式。S参数对波导链之间的对准很敏感；在没有封装或标准接口的情况下，通过使用定位器在视觉上将介电波导尖峰对准空心金属波导的开口，同时检查|S₂₁|以寻找最大值来进行对准。关于实验表征的补充说明在支持信息S1节中提供。

准TE模式的模拟和实验S参数结果被给出。对于准TE模式，模拟的六边形和矩形透镜在整个频带内的平均插入损耗分别仅为0.3 dB和0.25 dB，突出了MFL的宽带特性。相应的模拟平均回波损耗分别为29 dB和28 dB。六边形MFL交叉口在整个频带内测得的平均插入损耗为1.4 dB，矩形MFL交叉口为1.2 dB。最后，两个交叉口测得的平均回波损耗均为23 dB，平均串扰约为–50 dB。图10a,b中302 GHz处的小正峰与频率扩展器的不稳定性有关，因为它们在两个器件上出现相同。这些测量结果与模拟结果基本吻合，尽管存在较小的额外插入损耗（归因于制造公差、表征可变性和不完美的接口），但在整个频带内提供了平坦的响应。虽然此处未研究更高频带，但由于MFL的宽带特性，预计该器件在更高频率下也能良好工作，高频截止点是太赫兹波从亚波长区域过渡到布拉格反射/光子晶体区域的点。

尽管设计是基于基本准TE模式进行的，但研究表明它也可以在TM激励下工作，尽管由于不同的色散特性、有效介质双折射以及TM模式更松散的约束性质，性能略差于TE模式操作。显示了六边形和矩形设计准TM模式的模拟和测量S参数，可以看出测量结果与模拟结果密切吻合。值得注意的是，频带低端相对较高的插入损耗和较低的回波损耗主要归因于空心金属波导和硅耦合尖峰之间的耦合不良，导致额外的插入损耗和反射，并非器件固有的特性。为了隔离该效应，提供了矩形交叉口在TM激励下两种情况的模拟S参数比较：通过金属空心波导激励与直接介电波导模式激励。在前一种情况下，全硅交叉口通过插入空心金属波导的介电尖峰激发；在后一种情况下，模式通过介电波导端口直接发射到全硅器件中，从而消除了金属到介电波导耦合的影响。模拟在其他方面是相同的。值得注意的是，当使用标准空心波导方法激发TM模式时，在220 GHz处观察到最大4.5 dB的额外插入损耗。在大约260 GHz以上，两种激励方法产生的插入损耗和回波损耗相似，表明耦合效率变高。之前在TM偏振的同一频带下半部分也观察到类似的低耦合效率。尽管如此，在260–330 GHz范围内，准TM模式的模拟平均插入损耗对于六边形和矩形透镜分别为1.3 dB和0.94 dB，而测得的相应平均值分别为2.3 dB和1.9 dB。在同一频率范围内，测得的平均回波损耗对于两个器件均为25 dB左右，而测得的平均串扰对于六边形和矩形器件分别为–46.2 dB和–52.6 dB。

总结比较了文献中报道的各种最先进的波导交叉口的关键指标。与其他太赫兹范围器件相比，我们的工作展示了显著的串扰抑制，比先前报道的设计好10 dB以上，同时结合了更复杂的3×3通道布局。与光通信波段工作的器件相比，我们的器件实现了可比的串扰性能，但直径非常小，且具有高达40%的分数带宽。

4 结论

麦克斯韦鱼眼透镜独特的成像特性可用于实现波导交叉口，然而一个关键挑战是如何将这种圆形器件与标准平面馈电波导集成。直接连接两者通常会导致模式失配、额外损耗和性能不佳。在这项工作中，我们利用变换光学技术来解决这一挑战，并演示了在220–330 GHz频带上工作的紧凑型全硅2×2和3×3太赫兹波导交叉口。使用保角Schwarz-Christoffel变换将MFL的圆形几何形状变换为正多边形。该技术创建了平面的输入和输出面，结合优化的梯度折射率锥形馈源，显著缓解了规则圆形MFL与平面馈电波导之间固有的模式失配。变换后的梯度折射率透镜使用有效介质技术在单晶硅片上通过亚波长穿孔实现，这是一个通用的平台，可以在单步DRIE工艺中直接容纳梯度折射率介质。器件总直径仅为3.66λ₀，总占用面积为11.5 × 11.5 mm2，测得平均插入损耗为1.2 dB，同时实现的–50 dB平均串扰水平在40%的分数带宽内低于现有技术水平。除了目标准TE模式外，在260–330 GHz范围内支持双偏振，TM模式性能与TE模式相似。尽管存在制造缺陷，这些器件仍保持了稳健的性能，这通过测量结果和容差模拟得到了证明。所展示的器件性能表明，它们是太赫兹密集集成的优秀解决方案，由于支持双偏振操作，具有支持偏振分割复用方案的潜力，而这里使用的变换光学范式可用于在集成全介质太赫兹平台中支持许多其他高级功能。