GR4J模型结构解析与改进：从算子分裂到解析解的理论探索与实践验证

《Journal of Hydrology X》：A theoretical appraisal of the GR4J rainfall-runoff modelling framework

本文针对GR4J水文模型存在的算子分裂数值误差问题，创新性地提出了GR4Ja和GR4Jb两种改进版本。研究人员通过理论推导揭示了GR4J与概率分布式模型(PDM)的数学等价性，并建立了其卷积核与扩散波方程的矩匹配关系。基于对英国671个流域的大样本验证表明，改进模型在保持原模型精度的同时显著提升了数值稳定性，为水文模型的物理机制解析与计算优化提供了重要范式。该研究发表于《Journal of Hydrology X》，通过解析解方法有效解决了水文模拟中数值扩散与质量守恒难题。

　　

水文模型是理解流域水文过程、预测水资源变化的重要工具。其中，GR4J模型以其结构简洁、参数较少、模拟性能优良而闻名，自提出以来已被广泛应用于全球众多流域的水文模拟与预测中。然而，尽管GR4J在实践中表现出色，其内在的数学模型结构，特别是其中采用的“算子分裂”（operator splitting）数值解法，长期以来存在理论上的模糊性。这种解法虽然保证了计算的可行性和效率，但可能引入数值误差，影响模型的精度和数值稳定性，尤其是在长时间序列模拟或极端水文事件中。厘清GR4J的数学本质，探索其与更严格物理方程的联系，并寻求更高精度的数值解法，对于提升模型的可靠性、可解释性及在不同环境下的适用性具有重要意义。

为此，研究人员在《Journal of Hydrology X》上发表了题为“解析GR4J：算子分裂、矩匹配与解析解”的研究论文。该研究旨在深入剖析GR4J模型的数学基础，揭示其与经典水文理论模型（如概率分布式模型PDM和扩散波方程）的内在联系，并在此基础上提出两种改进的模型版本（GR4Ja和GR4Jb），旨在减少或消除原模型因算子分裂带来的数值误差。研究团队采用了严谨的数学推导、矩匹配分析以及大规模流域样本（英国CAMELS-GB数据库中的671个流域）的校准验证相结合的方法，系统评估了改进模型相对于原GR4J模型的性能。

为开展此项研究，作者主要运用了数学解析推导、数值模拟以及大样本统计分析等关键技术方法。数学推导方面，重点分析了GR4J模型中的土壤水分计算、产流卷积过程与概率分布式模型(PDM)和扩散波方程理论框架的等价关系。数值模拟方面，实现了GR4J原模型及其两种改进变体（GR4Ja, GR4Jb），并利用MATLAB的优化工具（如FMINSEARCH）进行模型参数自动校准。大样本验证则基于英国CAMELS-GB数据库提供的671个流域的长系列日尺度水文气象数据（降水、潜在蒸散发、径流）和流域属性数据，通过纳什效率系数(NSE)和绝对百分比偏差(absPBIAS)等指标全面评估模型在率定期和验证期的表现。

1. GR4J模型结构及其与PDM的等价性

研究首先详细阐述了标准GR4J模型（含渗漏）的数学结构，包括其四个主要参数（x₁, x₂, x₃, x₄）的含义。分析表明，GR4J中描述土壤蓄水容量空间分布的函数F(C)具有特定的形式（F(C) = tanh2(C/x₁)），这实际上是一种特殊的概率分布式模型(PDM)。通过矩匹配方法，研究发现该分布函数与一个对数正态分布函数非常接近，但GR4J所采用的形式具有闭合解析解的优点，避免了迭代计算。这一发现将GR4J的产流机制明确地置于PDM的理论框架之下，增强了其物理概念的清晰度。

2. 产流卷积核与扩散波方程的联系

GR4J使用一个经验性的单位线（卷积核）g(t)来模拟径流在河网中的演进。本研究通过理论分析证明，该卷积核可以通过矩匹配（匹配一阶矩和二阶矩）与一个扩散波方程的解析解（即Dooge卷积核）建立联系。分析指出，GR4J的参数x₄与扩散波的波速有关，而另一个形状参数η则与佩克莱特数(Pe)相关，这为GR4J的演进参数提供了潜在的物理诠释。

3. 改进模型GR4Ja和GR4Jb的提出

为了消除原GR4J模型中因算子分裂可能带来的数值误差，研究提出了两种改进方案。GR4Ja模型通过设定渗漏系数κ=0并调整地下水交换项的指数，简化了模型结构，但仍保留算子分裂。GR4Jb模型则更进一步，在GR4Ja的基础上，对描述非线性河道演进的存储函数方程寻求了解析解（指数型存储函数解析解，ESFAS），从而完全避免了该部分的算子分裂，实现了更高精度的数值求解。

4. 基于CAMELS-GB数据库的大样本验证

利用英国671个流域的数据，研究对GR4J、GR4Ja和GR4Jb三个模型进行了广泛的校准和验证。结果表明，尽管在数学形式上有所改动，GR4Ja和GR4Jb模型在率定期和验证期的模拟效率（NSE）和水量平衡（absPBIAS）与原GR4J模型相比均无显著差异，甚至在某些方面表现相当。这说明所做的改进在保持原模型优良模拟性能的同时，有效提升了数值计算的严谨性。参数分析显示，改进模型校准得到的参数分布与原模型参数分布总体一致，但存在预期内的细微调整，反映了模型结构变化的影响。

5. 数值精度对比分析

针对选定的四个典型流域（Urr, Rea Brook, Lugg, Avon），研究进一步比较了GR4Jb模型采用不同数值方法（如欧拉法、Heun法、指数型存储函数解析解ESFAS以及高精度ODE45求解器作为参考）求解非线性演进存储方程的结果。发现采用ESFAS的GR4Jb解与高精度参考解最为接近，显著优于一阶或二阶的显式/隐式数值方法，证明了所提出的解析解在提高计算精度方面的有效性。

本研究通过系统的理论分析和大量实证检验，深刻阐释了GR4J水文模型的数学基础，将其与水文物理学中成熟的PDM理论和扩散波理论联系起来，增强了模型的理论透明度。所提出的GR4Ja和GR4Jb改进模型，在基本不损失原模型模拟精度的前提下，通过简化结构或引入解析解，减少了数值误差来源，提高了模型的数值稳定性和计算可靠性。这项工作不仅增进了对广泛应用的GR4J模型内部工作机制的理解，也为开发兼具物理基础、数值稳健和实用高效的水文模型提供了新的思路和范例。研究成果对于提升水文模拟预测的可靠性，服务于水资源管理、洪水预报和气候变化影响评估等领域具有重要的理论和实践价值。