基于混合微分求积配点技术(HDQCT)的登革热SIR非线性模型数值模拟研究

本文提出了一种结合牛顿迭代法与微分求积法(DQM)的混合计算框架(HDQCT)，用于求解登革热传播的非线性SIR（易感-感染-恢复）模型。该研究通过多项式微分求积(PDQ)和傅里叶微分求积(FDQ)两种配点方法，将微分方程转化为代数方程组，实现了高精度、低计算成本的数值模拟，为传染病动力学研究提供了新的数学工具。

　　

亮点

登革热SIR非线性模型的推导

文献[34]首次研究了同时考虑人类和媒介种群的SIR模型（如图3所示）。该模型将人群分为易感者(S_p)、感染者(I_p)和康复者(R_p)，而媒介种群则分为易感和感染两类。

从描述人类社会的常微分方程组出发[35]，并假设出生率与死亡率相同，我们得到：

dS_p/dξ = α_pN_p - (Bδ_p/N_p)I_mS_p - α_pS_p,

dI_p/dξ = (Bδ_p/N_p)I_mS_p - (α_p + ?_p)I_p,

dR_p/dξ = ?_pI_p - α_pR_p.

定义与预备知识

微分求积法(DQM)的核心思想是通过计算域内函数值的加权和来近似导数。该方法通过建立基于高次多项式的权重系数来求解问题。Bellman[36]提出了这一策略，并由Shu和Richards[37, 38]进一步完善。对于定义在区间 a < ξ < b 上的一阶导数近似……

方法设计

本节将详细描述求解方案，为简便起见，将该方法命名为混合微分求积配点技术(HDQCT)。求解过程包含两个阶段：

• 第一阶段：使用DQ配点法（基于拉格朗日多项式或傅里叶基函数）在域[a,b]上获得非线性离散系统。

• 第二阶段：设计牛顿法来求解得到的非线性方程组。

收敛性分析

在用多项式逼近连续函数的背景下，研究误差界限对于理解数值方法的可靠性和准确性至关重要。文献[33]详细研究了基于多项式和基于傅里叶的微分求积法函数逼近的收敛性。后续定理总结了误差界限如下：

定理5.1

设{ξ_i}_i=0^N 表示空间域[a, b]内的均匀网格点，且τ(ξ) ∈ C^∞[a, b]……

数值结果与讨论

本节通过两个实际算例对提出的方法进行数值测试。结果以多种形式呈现，包括图表。SIR模型变量的近似解与其他解析方法相比差异很小。为了比较和证明我们方法的正确性，我们使用以下公式计算数值误差：

‖E_α‖ = max_0≤i≤N |α(ξ_i) - α?(ξ_i)|, ‖E_θ‖ = max_0≤i≤N |θ(ξ_i) - θ?(ξ_i)|,

‖E_β‖ = max_0≤i≤N |β(ξ_i) - β?(ξ_i)|.

结论与未来工作

本研究提出了一个稳健的SIR非线性数学模型，用于精确模拟登革热的传播动力学。我们的计算系统采用微分求积法，产生了有用的数值模拟，并展示了该方法在处理复杂公共卫生问题方面的灵活性。

收敛性分析验证了我们近似的可靠性，确保了计算结果的精确性和意义。数值模拟……