退化一致性即插即用框架下的低秩张量恢复及其在医学影像重建中的应用

《Pattern Recognition》：Degradation Accordant Plug-and-Play for Low-Rank Tensor Recovery

本文提出一种结合离散余弦变换张量核范数（DCT-TNN）与即插即用（PnP）先验的低秩张量恢复模型，通过交替方向乘子法（ADMM）实现多维度视觉数据（如MRI、HSI）的噪声下采样重建，在保留高频细节与低频结构方面显著优于现有方法。

　　

Section snippets

低秩张量恢复（Low-Rank Tensor Recovery）

如前所述，张量秩的定义并不唯一，基于不同张量分解方法提出的多种秩形式已被广泛应用。张量分解通常将张量分解为一系列子因子或子张量，类似于矩阵分解。近年来四种主要分解方案被广泛研究并应用于张量恢复任务（如张量补全）。最早且最广泛使用的分解之一是...

Notations and Preliminaries

为简洁起见，我们在表1中列出了张量基本概念的主要符号。随后提供模型所需的基本定义。

定义1 张量-张量积（Tensor-tensor product）[9]

对于三阶张量 A ∈ R^{n₁×n₂×n₃} 和 B ∈ R^{n₂×n₄×n₃}，张量-张量积 T = A * B 是一个 n₁×n₄×n₃ 的张量，其第(i₁,i₂)个管状纤维 T(i₁,i₂,:) 通过以下方式获得：

T(i₁,i₂,:) = ∑_l=1^n₂ B(i₁,l,:) ?? A(l,i₂,:)

其中 ?? 表示相同大小向量之间的循环卷积。

定义2 共轭转置（Conjugate transpose）[29]

对于三阶张量 T ∈ R^{n₁×n₂×n₃}，其共轭转置...

The Proposed Model and Algorithm

基于即插即用（PnP）的低秩张量恢复（LRTR）通用模型可表述如下：

min_X Φ(X) + Ψ(X) s.t. A(X) + N = O

其中 O ∈ R^n₁×?×n_L 是测量张量，L 是维度数量，X ∈ R^n₁×?×n_L 是潜在张量，N 代表密集加性噪声（本研究主要考虑零均值高斯噪声），A(·) 是线性前向算子（在张量补全中指投影算子 P_Ω(·)，其保留特定集合 Ω 中的元素值...

Convergence Analysis

现在我们给出算法1的不动点分析，其框架遵循[36]中的对应内容。我们将优化问题重构为(20)，与[36]中提出的形式类似。在此基础上，我们引入证明的关键假设，讨论合理性，并在第5.2节提出主要定理。由于篇幅限制，必要的引理和主要定理的详细证明见补充材料。

Experiments Results

通过一系列实验，我们评估了所提出的退化一致性即插即用低秩张量恢复（DAP+）的性能，并与其他先进方法进行比较。对比方法¹

Conclusions

我们提出了一种新颖的多维度视觉数据低秩噪声张量补全方法。首先，采用基于离散余弦变换（DCT）的张量核范数（TNN）来刻画张量的全局高相关结构。随后，我们借助即插即用（PnP）框架引入由卷积神经网络（CNN）表达的数据驱动先验。与先前使用CNN去噪器的方法不同，我们通过构建两个隐式正则化项将退化分解为两部分：数据值的丢失和噪声的影响...