综述：量子计算机的经典模拟：一项艰巨的任务

《Science Bulletin》：A Herculean task: classical simulation of quantum computers

这篇综述系统回顾了量子计算机经典模拟的前沿进展，重点探讨了态矢量（state-vector）、矩阵乘积态/算符（MPS/MPO）、张量网络（tensor network）和稳定子（stabilizer）等核心模拟范式的理论基础、优势局限及实际应用。文章强调了通过算法和硬件的优化来突破经典模拟的规模限制，并详细阐述了模拟技术在量子硬件设计、基准测试（benchmarking）、量子纠错（QEC）、量子优势（quantum advantage）验证及量子算法开发等关键领域的广泛应用，为理解量子计算与经典计算的边界提供了重要视角。

　　

量子计算机的经典模拟：一项艰巨的任务

1. 1.
   引言

经典计算机的发展无疑是人类历史上最重大的突破之一，然而，在面对许多关键问题时，其内存和运行时间仍存在局限。另一方面，量子计算机被认为能够在各种重要场景下规避这些扩展性问题，从而使得量子处理器在某些任务上超越经典系统，这一概念被称为“量子优势”。随着量子硬件的最新进展，已经制造出包含数百个量子比特（qubit）的处理器，并且有多种不同类型的量子设备声称实现了量子优势。这些成就标志着噪声中等规模量子（NISQ）计算时代的开启，并为容错量子计算奠定了基础。

在推动该领域发展的过程中，经典计算在辅助和加速量子计算机发展方面扮演着不可或缺的角色。其作用可基本分为两类：首先，经典模拟是理解和设计量子硬件的基础，通常是验证这些系统的唯一途径；其次，在全功能量子计算机尚不可及之时，量子算法可以在经典模拟器上实现，用于测试和验证目的。尽管已经开发出众多高效的经典模拟器，但对更大规模量子系统进行模拟的需求始终存在。随着量子硬件的发展超越经典模拟的能力范围，提升模拟能力以建模更大的子系统，可以为多体相互作用提供有价值的见解，从而更准确地预测量子算法性能及量子系统自身的行为。持续推动经典模拟的极限，对于理解经典计算与量子计算的边界、界定实用量子优势的门槛也至关重要。

1. 2.
   模拟方法

2.1. 全态模拟

模拟量子电路最直接的方法是记录量子态的完整信息并追踪其演化。全态模拟方法包括用于纯态的态矢量模拟和用于混合态的密度矩阵模拟。

在态矢量形式中，一个N量子比特的量子寄存器状态由一个2^N维复数值向量表示。数字量子计算机上的通用量子计算涉及对该状态施加一系列酉操作。全态模拟器，也称为薛定谔模拟器，采用一种蛮力方法，通过显式记录和更新整个量子态矢量来模拟量子电路。更新量子态对于克利福德群（Clifford group）中的门是高效的，例如，应用X或CNOT门通常只需要交换振幅。然而，实现通用量子计算需要额外的非克利福德门，最常见的选择是T门。在最坏情况下，当涉及任意酉门时，全态模拟的时间和内存成本随量子比特数量呈指数级增长。

当考虑噪声时，量子态必须表示为密度矩阵，并在克劳斯通道下演化。使用这种形式进行精确的混合态模拟，其计算复杂度为O(m2^2N)，其中m是量子门的数量，这使得它比纯态模拟需要更多的资源。

由于随着系统规模增大，内存需求急剧增加，全态模拟器无法高效模拟大型量子电路。为了解决这一限制，可以采用近似方法，以牺牲精度或运行时间为代价，实现对更大量子系统的模拟。一个普遍的例子是使用蒙特卡洛方法和纯态模拟器对含噪电路进行建模，通过足够多次试验的聚合结果可以逼近精确结果。

2.2. 矩阵乘积态和矩阵乘积算符

在许多感兴趣的量子应用中，演化后的量子态具有高度结构化和低施密特秩的特点，这使得存储和演化它们时，空间和时间复杂度可以显著降低。量子信息和量子多体物理中广泛使用的一种方法是矩阵乘积态（MPS）方法，其混合态类似物是矩阵乘积算符（MPO）。

与态矢量方法相比，MPS表示将参数数量从2ⁿ减少到大约2nχ²（当d_i=2时），代价是仅能近似表示状态，这通常将其限制于纠缠相对较低的状态。研究表明，MPS方法及其变体——群MPS方法，可以高效模拟由受控Z门和随机哈尔门组成的随机电路。

2.3. 张量网络收缩

张量网络收缩是一种通过将状态或算符表示为较小张量的网络来模拟量子电路的强大方法。这种方法降低了内存和计算需求，同时利用了电路和量子比特相互作用的特定结构。此外，张量网络表示的灵活性允许使用各种收缩策略，例如近似和截断，这可以进一步提高模拟效率。

量子电路模拟中张量网络收缩的使用可以追溯到2005年的开创性工作。虽然对于高度结构化的张量网络（如MPS和多尺度纠缠重整化拟设（MERA））存在高效的收缩方法，但一般张量网络的精确收缩已知是#P-完全的。不同的模拟任务对应于张量网络的不同边界条件，这会极大地影响收缩的计算成本。

张量网络中张量的收缩顺序会极大地影响评估过程的效率。不同的收缩序列会导致不同级别的计算和存储需求。尽管找到给定网络的最优收缩顺序通常是困难的，但已经提出了几种启发式策略。对于深度量子电路，从初始状态开始推进到最终状态的平凡收缩顺序通常接近最优。然而，对于NISQ设备中常见的较浅电路，收缩顺序的选择会对计算成本产生显著影响。

2.4. 神经网络

除了基于张量的方法，神经网络已成为在经典模拟中近似量子态的另一途径。与利用内在低秩结构的MPS方法不同，神经网络态通常具有更高的张量秩。然而，将酉算符U精确地应用于神经网络态|ψ?是具有挑战性的。一个常见的解决方案是选择易于采样的神经网络，从而可以构建一个基于样本的损失函数，该函数表征了原始状态|ψ?与应用酉算符后的新状态U|ψ?之间的距离。

2.5. 稳定子

尽管可以被通用经典模拟器模拟的量子电路在规模上受到限制，但存在一些例外。稳定子电路是一个重要的非平凡例子，在量子纠错领域有重要应用。稳定子电路通常初始化为稳定子态，在稳定子操作下演化，并在泡利基下测量。由于稳定子操作属于克利福德群，这些电路可以在经典计算机上高效模拟。

然而，稳定子电路并非通用的。实现通用量子计算需要一个扩展——使用魔幻态（magic state）是一个典型解决方案。模拟成本随魔幻态的数量呈指数级增长，但当电路主要由克利福德门组成时，仍然可以高效模拟。主要用于近稳定子电路的方法主要有两类：拟概率（quasiprobability）和稳定子秩（stabilizer-rank）。

2.6. 其他方法

除了上述模拟方法，还开发了其他几种经典方法，通过针对特定的电路结构或利用量子态的特定属性来更有效地模拟量子电路。

一类著名的方法基于决策图（decision diagrams），这是一种基于图的方法，利用量子电路中的冗余来减少计算和内存需求。这些技术使得能够使用有限的经典资源高效模拟大型复杂电路。决策图的最先进实现实现了与MPS方法相当的性能。

另一类模拟技术通过利用计算易处理（CT）状态的概念来针对非克利福德电路。如果满足两个条件，则称量子态|ψ?是CT的：可以有效地从输出分布Pr(x)=|?x|ψ?|²中采样；振幅?x|ψ?也可以在多项式时间内计算。

1. 3.
   应用

随着经典模拟方法的发展，出现了多种可供公众使用的软件工具包。这些软件包支持常用的编程平台，并已被广泛用于探索和演示各种应用。

3.1. 量子算法开发

经典模拟主要用于量子算法的开发。通过经典模拟方法，我们可以理解量子算法在各种条件下的行为，识别潜在的误差源，并优化其设计和实现；在实际量子硬件上运行之前测试和调试量子算法，从而在开发过程中节省时间和资源；将量子算法与经典算法的性能进行比较，并评估其相对于输入规模的复杂度。这些能力使研究人员能够评估不同架构上各种量子计算应用的可行性，并确定量子算法可能提供特定优势的领域。

3.1.1. 量子算法设计与验证

量子技术发展的一个挑战是缺乏所谓的“杀手级应用”——即量子计算机相对于经典方法具有明显实际优势的问题。虽然一些著名的量子算法，如用于整数分解的Shor算法和用于哈密顿量模拟的算法，具有可证明的优势，但许多经验性或启发式的量子算法仍然需要实验验证来评估其实际性能。

3.1.2. 量子优势的演示与验证

量子计算的一个核心问题是确定量子设备在何时以及何种情况下能够超越经典设备。解决这个问题推动了经典模拟方法的发展，以验证和基准测试量子硬件。

随机电路采样是证明量子计算机可以超越传统机器能力的一个主要提案。在这种方法中，使用随机量子电路从其输出分布中生成样本。当量子比特数量超过50时，预计模拟整个量子态将需要大约16PB的内存。电路结构也经过专门设计，具有较大的树宽，使得使用张量网络方法进行模拟变得困难。

3.1.3. 量子纠错

正如前面章节所讨论的，稳定子电路可以被高效模拟，并广泛用于估计量子纠错码的性能，例如逻辑错误率和阈值。这种高效的可模拟性依赖于噪声源可以通过从固定分布中抽取的泡利算符来建模的假设。虽然这种简化模型提供了有用的概念指导，但它并不能完全捕捉真实量子硬件的复杂行为。

为了解决这一差距，一系列研究致力于在更现实的噪声模型下模拟表面码，使用密度矩阵模拟和张量网络等方法。这些方法允许在实验噪声条件下更准确地估计逻辑错误率。

3.1.4. 电路编译

量子电路的高效经典模拟也使得研究电路编译成为可能——具体来说，是将一个酉算符或量子态编译成由满足特定硬件约束的局部门或门组成的浅层深度电路。这对于量子算法的准确实现至关重要，因此在具有有限能力的近期量子设备上实现量子优势方面发挥着关键作用。

对于酉编译，目标是优化参数化算符U(θ?)，使其近似目标酉算符V。一个常见的成本函数是|Tr[U(θ?)^?V]|²，可以使用经典模拟进行评估。类似的策略可以应用于编译特定的量子态。在这种情况下，成本函数被修改为对于给定的初始态|ψ₀?。

3.2. 量子硬件开发

虽然量子算法开发可能受到更多关注，但量子硬件的开发也是一个至关重要且不断发展的领域，很大程度上受益于经典模拟技术。经典模拟可用于研究影响量子硬件性能的各种因素，例如噪声和退相干的影响、电路优化，以及已制造量子设备的表征。

3.2.1. 量子硬件设计

在量子硬件的开发中，芯片设计过程需要大量的经典模拟来评估给定的超导电路设计（或其他量子比特平台）是否能够执行高保真度的量子操作。对于大型系统，完整电路哈密顿量的精确对角化在计算上变得难以处理，这凸显了对更高效建模方法的需求。

3.2.2. 硬件基准测试与表征

推动经典模拟方法发展的另一个关键动机是支持量子硬件的验证和基准测试。一个特别关注的领域是开发量子处理器的质量保证技术。为此目的，已经提出并广泛使用了各种度量标准，包括XEB和量子体积。然而，随着系统规模的增大，这些方法呈指数级增长的资源需求带来了重大挑战。作为回应，已经开发了替代策略，例如使用克利福德电路的XEB，这仅需要适度的经典模拟资源。

1. 4.
   挑战与展望

尽管最终预期量子计算机将超越经典计算机，但在当前阶段，经典模拟仍然是不可或缺的。我们已经见证了各种量子计算机经典模拟方法的发展和应用，以及它们在量子硬件和算法开发相关任务中的广泛应用。随着量子计算的快速发展，对更高效经典模拟方法的需求将持续增长。

经典模拟量子系统的根本挑战在于随着系统规模增大，所需资源呈指数级增长。这源于量子态由一个复数值波函数表示，需要指数级数量的复数来描述。因此，使用经典计算机精确模拟大型量子系统通常非常困难。

为了克服这一挑战，已经开发了许多近似方法，使得能够经典模拟更大的量子系统。这些方法包括MPS/MPO、张量网络和稳定子技术。然而，在应用这些近似方法时仍然出现一些挑战。首先是准确性：一个关键挑战是开发能够准确近似量子系统行为的方法，特别是那些表现出复杂或高度纠缠动力学的系统。其次是可扩展性：另一个挑战是找到能够高效模拟更大量子系统的可扩展方法。许多近似方法仍然受到指数级增长的限制，限制了它们在大规模系统中的实用性。第三是高效实现：设计能够在经典硬件上高效实现这些方法的算法和软件仍然至关重要。最后是验证：由于精确模拟通常不可行，验证近似方法的结果本身就是一个重大挑战。

另一项紧迫任务是开发专门用于模拟特定量子系统或算法的高效算法。虽然已经取得了实质性进展，但在理解经典模拟在各种量子体系下的全部能力和局限性方面，仍有许多有待探索的空间。