基于分数阶波动方程的各向异性材料结构特征无损解码新框架

《Ultrasonics》：Interpreting material anisotropy through the fractional wave equation

本综述创新性地将超椭圆分数阶导数引入二维标量波动方程（亥姆霍兹方程），建立了各向异性材料结构特征与导波传播特性之间的数学关联。通过系统调控方程指数项与正交方向波速比，构建了频域-波数域三维映射模型，并结合激光多普勒测振仪实验验证了该框架在 isotropic material（各向同性材料）、uniaxial fiber reinforced composite（单轴纤维增强复合材料）及 biaxial composites（双轴复合材料）中的普适性，为结构健康监测（SHM）和无损评估（NDE）提供了全新的材料各向异性解析工具。

　　

Highlight

Mathematical formulation of the superelliptical wave equation

本节建立了用于研究各向异性波传播的超椭圆分数阶波动方程。该框架的核心成果是提出了一个简化的频散关系，用于表征各向异性波传播和复合材料中的材料刚度。为阐明该方程，我们从二维标量波动方程出发，该方程通过以下公式将位移场u在时间t与空间位置（x,y）联系起来：$c^2\left(\frac{{?}^{2}u(t,x,y)}{?x^2}+\frac{{?}^{2}u(t,x,y)}{?y^2}\right)=\frac{{?}^{2}u(t,x,y)}{?t^2}$。

Designing structures to elicit wave propagation

基于对波数图与材料属性趋势关系的理解，我们现在可以提出由各子图所代表的可能结构设计。让我们再次从中心的各向同性材料开始，这可以是多晶金属或聚合物。当我们向各个方向远离中心时，我们可以为具有刚度E_m的基体和具有刚度E_f的纤维提出复合材料设计。

Specimen Selection and Preparation

为验证上述对理论波数图和结构特征的解释，我们设计了一个实验装置，可在选定的试样中产生波场，并从中提取波数图以进行比较。考虑了五种不同的试样设计来测试上述概念：一种代表各向同性材料的0.8毫米厚6061铝合金板；一种单轴碳纤维-环氧树脂基复合材料；三种具有不同纤维和基体刚度比的双向正交碳纤维-环氧树脂基复合材料。

Verification of the interpretation of the superelliptical wave equation

板材材料的示意图、时域中测量的兰姆波剖面快照以及从传播的兰姆波中提取的相应波数图如图所示。波数图的创建方法是：首先沿时间维度进行一维快速傅里叶变换，沿采集的波场数据的空间维度进行二维快速傅里叶变换。接着，我们在特定频率下对波数空间频域的大小进行求和。

Discussion

通过将实验确定的波数响应与我们的预测图进行比较，我们现在已经确认，我们预测的波传播剖面以及材料结构与基于超椭圆分数阶波动方程解释所发展的理解是一致的。这种理解的好处可以很容易地设想应用于无损评估和结构健康监测领域，用于确定未知的结构特征。

Conclusions

通过将各向异性亥姆霍兹波动方程推广到具有分数阶导数的超椭圆形式，我们发展了一种预测能力，能够解读各种平面复合材料的结构特征。波传播的频率依赖性响应在波数域中由不同的形状表示，并且提取了两个正交方向上的材料属性趋势，使我们能够预测可能的结构特征及其各向异性程度。