综述：不同配方的超收敛无网格微分求积法的最新进展

《ARCHIVES OF COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING》：State-of-the-Art in Different Formulations of Super Convergent Mesh-Less Differential Quadrature Method

本综述系统梳理了微分求积法（DQM）在结构动力学领域的应用进展，重点评述了广义微分求积法（GDQM）、逆向微分求积法（IDQ）、微分求积分元法（DQEM）等六种核心变体，并针对各向同性/各向异性梁板结构的屈曲、自由振动与受迫振动分析中的关键技术挑战进行深度剖析。

　　

微分求积法的技术谱系与发展脉络

作为强形式无网格法的重要分支，微分求积法通过将函数在某点的导数表示为全域节点函数值的加权和来实现微分运算。该方法自20世纪70年代被提出以来，已发展出多种改进形态：广义微分求积法通过引入更灵活的权系数计算策略提升精度；逆向微分求积法则专注于边界条件处理难题；微分求积分元法则结合有限元法的分区思想，有效解决了复杂几何形状的适应性问题。

核心变体技术的关键突破

基于三次样条的微分求积法利用样条函数的局部支撑特性，在保持高阶连续性的同时显著改善数值稳定性。而径向基函数微分求积法通过引入高斯函数、多谐样条等核函数，成功将方法拓展至非规则节点分布场景。变分微分求积法则通过引入泛函极值原理，使方法在能量范数下具有更优的收敛特性。这些改进使得DQM在求解高阶偏微分方程时展现出独特优势，特别是在板壳结构的振动分析中。

在结构动力学中的典型应用

对于各向同性梁的自由振动分析，GDQM仅需少量节点即可达到传统有限元法高阶单元的计算精度。在复合材料层合板的屈曲研究中，DQEM通过子区域划分有效处理了材料参数突变引起的数值振荡问题。对于功能梯度材料板的热力耦合振动，径向基函数DQM通过调整形状参数成功捕捉了材料属性的连续梯度变化效应。研究还表明，在纳米梁的尺寸效应分析中，非局部弹性理论与DQM的结合能准确表征尺度效应引起的振动频率偏移。

技术挑战与发展趋势

当前该方法仍面临边界条件施加一致性、不规则区域节点优化布置等挑战。最新研究趋势显示，深度学习辅助的节点选择策略、与等几何分析的混合格式构建，以及面向多物理场耦合问题的自适应DQM框架正在成为重点突破方向。这些进展将进一步提升方法在生物力学仿真、智能结构健康监测等生命科学交叉领域的应用潜力。