周期性多股纤维材料拓扑结构设计：从晶格到纠缠的跨尺度建模方法

《Materials Chemistry and Physics: Sustainability and Energy》：Topology-informed design of intertwined architected materials: Unifying woven, knotted, and closed-chain networks

本文针对周期性多股纤维材料（如绳索、纺织品）的跨尺度拓扑设计难题，提出了一个系统的数学框架。研究从晶格级（Glat）出发，通过端口级（Gprt）和股线级（Gstr）拓扑的逐层构建，最终定义了周期性纠缠描述符（T），解决了此类材料在保持周期性对称性的同时实现复杂拓扑纠缠（如打结、链环）的设计问题，为先进纤维材料的可编程设计提供了理论基础。

　　

在材料科学与纺织工程领域，设计和制造具有复杂拓扑结构（如打结、编织和链环）的周期性多股纤维材料一直是一个重大挑战。这类材料，从日常的绳索、纺织品到高科技的纤维增强复合材料和生物医学支架，其宏观力学性能很大程度上取决于其内部纤维的微观排列与相互纠缠方式。然而，传统的设计方法缺乏一个系统的、能从微观原子排列（晶格尺度）贯通到宏观纤维纠缠（拓扑尺度）的数学框架，使得精准设计和预测材料性能变得异常困难。现有的研究往往孤立地处理不同尺度的问题，未能将晶格的周期性、纤维路径的连续性以及最终的拓扑状态统一在一个模型中。因此，亟需一种能够跨尺度描述并生成这些复杂结构的通用理论，这正是本研究旨在解决的问题。

为了回答上述问题，研究人员开展了一项名为“周期性多股纤维材料的跨尺度拓扑设计”的研究。本研究的核心是建立了一个层层递进的数学框架，将整个设计过程分解为四个连续的、相互关联的层级：晶格级拓扑（Lattice-Level Topology）、端口级拓扑（Port-Level Topology）、股线级拓扑（Strand-Level Topology）和最终的纠缠级拓扑（Intertwined-Level Topology）。这个框架的逻辑始于一个给定的、定义了材料重复单元的晶格结构，最终输出一个完整的、描述了所有纤维如何相互缠绕的“拓扑描述符”（Topological Descriptor）。研究得出的结论是，通过这一严格的数学形式化方法，可以系统性地枚举并生成所有在几何和拓扑上可行的、满足周期性边界条件的多纤维纠缠结构，为材料的高通量计算设计和性能优化奠定了坚实的基础。其重要意义在于首次提供了一个统一、严谨的数学语言来描述和生成复杂的多纤维材料拓扑，极大地推动了计算材料设计，特别是“材料基因组”计划在纤维材料领域的发展。

本研究发表于《Materials Chemistry and Physics: Sustainability and Energy》，为了开展这项研究，作者主要应用了几个关键的技术方法：首先是图论与组合数学建模，用于定义和枚举不同层级（晶格、端口、股线）的拓扑结构；其次是周期性边界条件处理与对称性分析，确保了所有生成的结构在空间中是周期重复的，并利用对称性来约简等价的解空间；第三是拓扑不变量计算，特别是周期性链接数（Lk_per）和自链数（SL_uc）的严格定义与计算，用于量化纤维间的纠缠程度；最后是多尺度结构表示与生成算法，实现了从抽象图表示到具体三维空间曲线的映射。这些方法共同构成了一个从抽象数学描述到具体物理实现的完整技术链条。

研究结果

晶格级拓扑

该层级定义了整个设计的起点，即材料的重复单元。它被形式化为一个图 G^lat = (N, E)，其中节点集 N 包含两类节点：端口（Ports, P）和连接点（Junctions, J）。端口位于单元边界，是纤维进出单元的位置；连接点位于单元内部，是纤维发生交叉、连接和路由的位置。边集 E 则连接这些节点，代表了纤维可以行走的路径。本研究的一个重要约束是“均匀性”，即要求所有端口类型（根据其空间位置和对称性划分）必须具有相同的度数（连接的纤维数量），这保证了生成的结构在宏观上是均匀的。

端口级拓扑

在固定的晶格基础上，该层级确定纤维的宏观路径。它被定义为晶格图的一个多重图实现 G^prt = (N, M)，其中 M 是一组路径的集合。每条路径 π ∈ M 都是一个边的序列，其起点和终点必须是端口，并且路径必须连续地穿越连接点。关键约束是“边缘一致性”：对于晶格中的每一条边 e，其被所有路径使用的总次数（多重性 m_e）必须等于一个预设的值。此外，研究者引入了“共轭性”（Conjugacy）约束，要求纤维路径的排布满足晶格的点群对称性，这进一步减少了冗余的解空间，并促进了结构的平衡性。

股线级拓扑

此层级在端口级确定的宏观路径框架下，解析每根纤维内部的精确连接方式。它将端口和连接点等节点“分解”为更细粒度的“子节点”（Subnodes），每个子节点代表一根特定纤维的入口或出口。问题进而转化为在这些子节点集合上构建一个多部图 G^str = (S, F)，其中边集 F 需要满足两个核心约束：1. 路径连续性：宏观路径中的连续边必须在子节点层面上通过共享同一个子节点来实现无缝连接；2. 完美匹配约束：端口子节点的度数为1（一根纤维的端点），而连接点子节点的度数为2（一根纤维穿过）。由此，每根独立的纤维被唯一地定义为子节点和连接边的一个序列，从而完全确定了其在单元内的路由。

纠缠级拓扑

这是最终层级，定义了纤维之间的拓扑纠缠关系。研究者引入了“纠缠函数” Ent: P(L){?} → R，为纤维集合的任意非空子集分配一个值来量化其纠缠程度。对于单根纤维，Ent({?}) 表示其自纠缠（如是否形成结），计算为它与自身一个微小偏移拷贝（沿Frenet法向偏移）的链接数 |SL_uc(?)|。对于两根纤维，Ent({?_i, ?_j}) 表示其互链接数 |Lk_uc(?_i, ?_j)|。考虑到结构的周期性，本研究精确定义了“周期性链接数”（Lk_per）和“单位细胞链接数”（Lk_uc），从而能够准确描述在无限周期扩展后纤维之间的拓扑关系。所有这些纠缠信息被整合到一个“拓扑描述符” T = (L, Ent_T(L)) 中，它完整地描述了整个材料单元的拓扑状态。

研究结论与讨论

本研究成功地构建了一个系统的、跨尺度的数学框架，用于设计和表征周期性多股纤维材料的拓扑结构。该框架将复杂的物理问题分解为四个逻辑严谨、层次分明的数学问题，从抽象的晶格定义一直贯通到具体的拓扑纠缠量化。研究者通过引入图论、组合数学和拓扑学中的概念（如多重图、完美匹配、链接数），并巧妙地处理了周期性边界条件，使得生成具有预设对称性和纠缠特性的复杂纤维结构成为可能。

其重要意义是多方面的。首先，在理论层面，它提供了一个统一且精确的语言来描述纤维材料的拓扑，填补了该领域长期缺乏严格数学模型的空白。其次，在计算设计与优化层面，该框架使得高通量的“拓扑筛选”成为可能。研究者可以据此编写算法，自动生成海量满足特定几何和拓扑约束（如高链接数、特定打结方式）的结构候选，并进一步通过物理模拟预测其性能，从而加速新材料的发现过程，这与“材料基因组”的理念高度契合。最后，在应用层面，该理论对众多领域具有指导意义，包括开发具有超高韧性、能量吸收或特定各向异性的先进纺织品和复合材料，设计用于组织工程的可控三维生物支架，以及理解某些生物纤维（如胶原蛋白、细胞骨架）的自组装机制。

总之，这项工作为理解和设计自然界和人工界中无处不在的纤维系统提供了一个强大的基础性工具，标志着计算材料学在复杂物质拓扑工程方向迈出了关键的一步。