基于自适应采样和频率变换的非线性频响函数高效代理建模方法研究

《Results in Engineering》：Adaptive non-intrusive stochastic harmonic balance method

本研究针对非线性系统频响函数(FRF)计算成本高、参数依赖性强的问题，开发了一种结合自适应采样(AS)和频率变换的代理建模方法。通过将多项式混沌克里金法(PCK)与频率变换技术相结合，研究人员成功构建了高效的FRF代理模型，在保证精度的同时显著降低了计算成本。该方法在伯努利梁和齿轮系统两个典型案例中验证了其优越性，为非线性系统不确定性量化提供了新思路。

　　

在工程实践中，非线性系统的动力学分析一直是个挑战。传统的线性方法往往无法准确捕捉系统在共振区域的行为，而非线性频响函数(FRF)的计算通常需要耗费大量计算资源。特别是在考虑参数不确定性时，传统的蒙特卡洛模拟需要成千上万次仿真，计算成本令人望而却步。

更复杂的是，非线性系统的FRF往往呈现多值特性，即在同一频率下可能存在多个稳态解。此外，系统参数的变化会导致共振频率发生偏移，进一步增加了建模的难度。这些问题严重制约了非线性系统在不确定性量化、可靠性分析和优化设计等方面的应用。

为了突破这一瓶颈，研究人员在《Results in Engineering》上发表了一项创新研究，提出了一种结合自适应采样和频率变换的高效代理建模方法。该方法的核心思想是通过智能采样策略减少所需的高保真模型计算次数，同时利用频率变换技术处理共振峰偏移问题。

研究团队采用了几个关键技术方法：首先使用谐波平衡法(HBM)结合交替频率时间法(AFT)求解非线性FRF；然后应用参数样条插值将多解FRF分解为单值函数；接着引入频率变换技术对齐不同参数下的共振峰；最后构建多项式混沌克里金法(PCK)代理模型，并采用基于期望预测误差(EPE)准则的自适应采样策略优化样本点分布。

频响函数计算与参数化处理

研究人员首先通过HBM方法计算系统的非线性FRF。对于每个参数样本，他们获得了包含多值解的完整频响曲线。为了解决多值函数给代理建模带来的困难，研究团队采用了参数样条插值技术，将每条FRF曲线参数化为弧长函数，从而将其分解为两个单值函数：一个是频率关于弧长的函数，另一个是响应幅值关于弧长的函数。

频率变换与模态分解

针对参数变化导致的共振峰偏移问题，研究人员开发了频率变换方法。该方法通过识别FRF中的关键频率点（如峰值和谷值），构建分段线性变换函数，将不同参数下的FRF对齐到统一的频率参考系中。这种处理显著提高了不同样本间FRF的相似性，为后续的模型降阶奠定了基础。

在频率对齐的基础上，研究团队应用本征正交分解(POD)对高频FRF数据进行降维。通过保留一定数量的主模态，他们将高维的FRF数据投影到低维潜在空间，大幅减少了代理模型需要学习的变量数量。

自适应采样与代理建模

代理建模阶段，研究人员采用了PCK方法，该方法结合了多项式混沌展开(PCE)的全局逼近能力和克里金法的局部插值特性。为了高效选择样本点，他们设计了基于EPE准则的自适应采样策略。该策略能够智能地在参数空间内探索高不确定性区域，从而用最少的样本获得最佳的模型精度。

案例验证与结果分析

研究团队在两个典型非线性系统上验证了所提方法的有效性：一个是带有立方非线性弹簧的伯努利-欧拉梁，另一个是考虑间隙非线性的二自由度齿轮系统。

在梁模型中，研究人员考虑了质量密度、弹性模量、阻尼系数、非线性刚度系数等六个不确定参数。结果表明，采用自适应采样和频率变换的代理模型在估计FRF统计量（如P₅、P₅₀、P₉₅分位数）时表现出色，尤其是在捕捉极端响应方面远优于传统的拉丁超立方采样方法。

齿轮系统案例进一步证明了该方法处理复杂非线性的能力。齿轮系统中的间隙非线性和时变啮合刚度使得FRF呈现更加复杂的多值特性。即使在这种情况下，提出的方法仍能准确预测系统的动力学响应，为齿轮系统的可靠性设计提供了有力工具。

参数敏感性分析

通过 Sobol 指数分析，研究人员还量化了各参数对系统响应的影响程度。结果显示，在梁模型中，质量密度对共振频率的影响最为显著，而非线性刚度系数主要影响共振峰的幅值。这种参数敏感性信息对于工程设计中的参数优化具有重要意义。

研究结论表明，结合自适应采样和频率变换的代理建模方法为非线性系统的不确定性量化提供了一条高效途径。该方法不仅显著降低了计算成本，而且保持了对系统复杂动力学行为的准确捕捉。特别是在处理多解和频率偏移现象方面，该方法展现出了明显优势。

这项研究的实际意义在于，它为工程中常见的非线性系统提供了一种实用的不确定性分析工具。无论是简单的梁结构还是复杂的齿轮传动系统，该方法都能有效地构建精确的代理模型，为工程师进行可靠性评估和优化设计提供了新可能。未来，这一方法有望扩展到更复杂的多物理场非线性系统，为工程实践带来更大价值。