基于贝塞尔曲线的弛豫时间分布反演新方法及其在地球物理勘探中的应用

《Geophysical Journal International》：Short note: on the determination of the Relaxation Time Distributions using Bézier curves

本文推荐一种利用贝塞尔曲线(Bézier curve)和模拟退火算法(simulated annealing)求解弛豫时间分布(RTD)的新方法。该方法通过贝塞尔曲线参数化降低自由度，无需正则化即可稳定反演复电导率谱，成功应用于Cole-Cole模型、Davidson-Cole模型和伊利石泥浆实验数据，为谱激电法(SIP)数据解释提供了新工具。

　　

在地球物理勘探领域，谱激电法(Spectral Induced Polarization, SIP)是一种重要的地球物理探测技术，通过测量岩矿石在交变电场作用下的复电导率频谱来推断地下介质的电学性质。然而，如何从有限的频率测量数据中准确提取弛豫时间分布(Relaxation Time Distribution, RTD)这一关键参数，一直是困扰研究人员的难题。由于RTD反演是一个典型的不适定问题(ill-posed problem)，传统方法往往需要引入正则化(regularization)和平滑处理，但这些方法的有效性严重依赖于阻尼参数的选择，且容易受到人为因素的影响。

正是在这样的背景下，法国巴黎高等师范学院的研究团队提出了一种创新的解决方案——利用贝塞尔曲线来参数化RTD。贝塞尔曲线具有天然的光滑特性，无需额外正则化即可保证分布函数的连续性和可导性。这项发表在《Geophysical Journal International》的研究，为谱激电数据解释提供了一种更加稳定可靠的新途径。

研究人员采用的核心技术方法包括：贝塞尔曲线参数化法（通过控制点减少反演参数）、模拟退火全局优化算法（避免局部极小值）、复电导率谱正演计算（包含介电效应和电磁耦合项）以及基于实测振幅和相位谱的加权最小二乘反演。实验数据来源于已发表的伊利石泥浆样本测量结果。

3. 验证与讨论

研究团队通过三个典型案例验证了方法的有效性。首先对Cole-Cole模型（包含耦合项K=4×10^-9 F/m）进行测试，仅用7个控制点就精确恢复了理论RTD，反演得到的σ₀=0.0998 S/m、σ_∞=0.1333 S/m与理论值高度一致。

在控制点数量优化实验中，研究发现当控制点达到7个时，代价函数进入平台期，表明继续增加参数不会改善拟合效果。这对实际应用中参数数量的选择具有重要指导意义。

针对具有不连续特性的Davidson-Cole模型，虽然16个控制点的贝塞尔曲线无法完美重现理论分布的陡变特征，但反演获得的电导率参数（σ₀=0.995 S/m，σ_∞=0.1324 S/m）仍与输入值高度接近，证明了方法对复杂分布的适应能力。

最令人鼓舞的是对伊利石泥浆实验数据的应用。该方法仅用5个控制点就实现了比传统双Cole-Cole拟合更好的频谱拟合效果，获得的零频电导率σ₀=0.1591 S/m与双Cole-Cole模型结果（0.1590 S/m）高度一致，而代价函数（F=7.966×10^-4）显著优于传统方法（F=5.631×10^-3）。

4. 结论

本研究证实贝塞尔曲线是估计弛豫时间分布的有效工具。其最大优势在于曲线本身数学特性带来的内在光滑性，消除了传统反演方法对正则化处理的依赖，提高了结果的客观性和可重复性。该方法成功应用于理论模型和实验数据，为谱激电法数据解释提供了新的技术路径，特别在颗粒尺寸分布提取等地球物理应用中展现出良好前景。研究人员公开的MATLAB代码将进一步促进该方法的推广和应用。