基于环境振动模态分析的巨柱仙人掌（Carnegiea gigantea）原位生物力学特性研究

《American Journal of Botany》：In situ ambient vibration modal analysis of saguaro cacti (Carnegiea gigantea)

本文首次报道了利用环境振动模态分析（Ambient Vibration Modal Analysis）这一无损检测技术，对索诺兰沙漠关键种——巨柱仙人掌（Carnegiea gigantea）进行原位动力特性表征的研究。作者通过部署低成本地震仪（Raspberry Shake 3D），成功测得了11株单茎仙人掌的共振频率（0.55–3.7 Hz）和阻尼比（1.5–2.1%），并基于欧拉-伯努利悬臂梁理论（Euler-Bernoulli cantilever beam theory）解析了其刚度（Young's modulus, E）随高度变化的规律（107–108 Pa），为植物生物力学、生态监测及抗风稳定性分析提供了创新方法。

　　

摘要

背景

柱状仙人掌的结构和动力特性是进行稳定性分析的关键输入参数，然而此前的研究未能通过全尺寸原位测试解析这些特性。

方法

本研究提出了一种利用非破坏性环境振动数据测量单茎巨柱仙人掌共振特性（模态频率和振型）并解析关键生物力学特性的方法。在美国亚利桑那州图森地区对11株仙人掌进行了测试。

结果

巨柱仙人掌的基本频率在0.55至3.7 Hz之间，阻尼比为1.5–2.1%。在10 Hz以下还识别出了额外的高阶模态。基本频率与茎直径与高度平方的比值（d/h²）呈线性比例关系，但由于观察到较高植株的杨氏模量（E）增加，与解析理论存在偏差。计算得到的二阶与一阶弯曲频率之比也偏离了梁理论，表明对于给定的茎，刚度沿垂直方向减小，尤其是较高的植株。这些偏差很可能源于提供主要抗弯刚度的内部木质肋的形态学特征。在一个地点的数值模拟证实了悬臂近似和高度相关的刚度，揭示了经验推导的杨氏模量从茎顶部的10⁷ Pa到底部的10⁸ Pa呈指数下降。在另一个地点进行的12天监测显示，频率随昼夜周期漂移，表明随着白天气温升高，外部组织发生软化。

结论

这种用于结构评估的非破坏性方法为生物力学表征、稳定性及生态分析提供了宝贵数据。

引言

巨柱仙人掌（Carnegiea gigantea）是索诺兰沙漠的关键种，也是最知名和最具标志性的植物。这种巨大的柱状仙人掌可高达24米，寿命达200年，重量可达4500公斤。最初以单一直立茎（称为矛状茎）生长，在成熟几十年后开始长出分枝。仙人掌具有独特的茎形态，使其能够随时间改变体积，在降雨期间储存大量水分以应对 subsequent 干旱。内部木质“肋”提供结构刚度和强度，而周围的皮层和内部髓部储存水分。厚实、柔韧的外皮和长达5厘米的坚硬棘刺保护着植株。季风风暴期间的强风，通常结合仙人掌质量的增加，是导致其倒塌的主要原因。

环境振动模态分析是一种用于表征动态系统结构状况的非破坏性技术，对模态特性（即共振频率和阻尼比）的监测可用于解读结构状况随时间的变化。该技术已广泛应用于结构和机械工程，最近也应用于地质工程，用于振动风险评估和结构健康监测。环境振动测量易于生成且非破坏性；只需将地震仪放置在结构上，静置数分钟或数小时即可。更长期的监测数据可持续数天至数年。然后分析地震数据的频谱特性以识别共振频率和阻尼比，并监测其随时间的变化。

用于悬臂梁弯曲的欧拉-伯努利方程为模拟悬臂形系统（如岩塔、树木、植物茎或柱状仙人掌）的共振特性提供了一个简单的解析框架。对于圆形横截面的梁，固定悬臂的基本频率（f₁）为：

f₁ = (1.875² / 8π) · (d / h²) · √(E / ρ)

其中E是杨氏模量，ρ是密度，h是高度，d是直径。该关系预测，对于具有相似材料特性的物体，基本频率与几何比率d/h²呈线性比例关系；这种关系已被证明对岩尖和不同树种有效。当根据现场数据集进行校准时，方程1可用于预测共振频率或评估由于样本群体中材料特性变化而产生的差异。方程1也可以用外在材料特性、刚度（K）和质量（m）来表述，表明频率预计随质量变化为m^–1/2，这一关系对于研究柱状仙人掌变化的水含量可能特别有用。

应用环境振动技术原位研究柱状仙人掌的动态特性和结构组成是新的领域，此前尚未评估过巨柱仙人掌茎的共振频率范围和变化。然而，进行此类测量所需的设备已经成熟，数据处理技术也通过对跨学科各种主题的分析得到了完善。此外，巨柱仙人掌的组成，像其他多肉植物一样，适合将共振频率变化与水分储存或流失驱动的质量变化联系起来。内部木质肋提供主要的结构刚度，其特性在日尺度或季节尺度上不太可能发生显著变化。另一方面，多汁皮层内持有的水量随时间变化很大，导致仙人掌的整体质量发生变化。因此，共振频率的变化（例如，在大风暴前后）可能指示伴随水分储存和流失的质量变化。

本文报告了巨柱仙人掌的振动特性，结合短期和长期测量进行模态分析，评估结构特性，并寻找与时间质量变化相关的信号。本研究受三个假设驱动：（1）巨柱仙人掌矛状茎的共振频率是高度和直径的函数，并遵循欧拉-伯努利悬臂梁的解析趋势。（2）巨柱仙人掌的原位模态分析可用于量化对风流体动力学和稳定性研究有用的材料特性。（3）共振频率漂移提供了巨柱仙人掌质量变化的相对测量值，可通过监测来量化水分吸收和呼吸作用。作者描述了在美国亚利桑那州图森地区11株巨柱仙人掌矛状茎上生成的新环境振动数据以检验这些假设。正如所证明的，假设一和假设二基本得到证实，而假设三仍不明确。本研究的结果为未来巨柱仙人掌的结构评估奠定了基础，包括应用于模拟风致振动和破坏以及生态监测，并可能更广泛地用于其他柱状仙人掌和植物的非破坏性结构评估。

材料与方法

本研究选择了11株巨柱仙人掌进行分析。地点O和1–9位于图森市以西的图森山脉西南朝向的山麓冲积扇上，海拔约800米，位于图森山公园内（经许可调查）。该区域因其仙人掌数量丰富、彼此靠近、地势相对平坦且植株间地面条件相似而被选中。地点H位于图森市以北卡塔利娜山脉山麓的南向山坡上，为私人地产，海拔相似。研究的巨柱仙人掌高度（h）从0.74米到7.16米不等，茎基部直径（d）从0.11米到0.40米不等。所有植株均为矛状茎。最初的环境振动实验在48小时内天气条件一致时进行（日平均气温=16°C，无降雨）。

每株仙人掌临时安装了一个Raspberry Shake 3D地震仪。该仪器是一种低成本、轻量级的三分量地震仪，已针对其他仪器进行了广泛基准测试。它使用4.5 Hz geophones记录三个相互正交的运动分量（两个水平分量和一个垂直分量），电子扩展范围下限至少至0.5 Hz，采样率为100 Hz，并具有内部数据存储。作者设计了一个定制的安装支架，包括一个可以绑在仙人掌茎上并调平到距地面约1.5米高的3D打印平台。安装高度是任意的，尽可能高而不需要梯子，且安装方法确保不损坏仙人掌。一个小型便携式电池提供电源。

在研究地点1–9记录了约15分钟的环境振动数据，而地点O和H则有超过1小时的更长时间部署。地震数据通过首先去除每个迹线的均值和趋势，然后去除仪器响应，最后使用重叠快速傅里叶变换计算0.2至40 Hz频带内的功率谱密度（PSD）估计值来进行频谱属性处理。阻尼比（以临界阻尼的百分比给出）描述了动态系统的能量损失率，可能由内部和外部机制（如摩擦和根-地相互作用）引起，并使用随机减量技术进行估计。阻尼只能从具有约1小时数据的现场环境振动数据中确定。

使用卷尺在现场测量了仙人掌的几何尺寸，包括高度和茎基周长。由于棘刺的存在，用这种方法测定茎周长很困难，但尽管棘刺密度因茎而异，大多数植株靠近基部棘刺较少。矮小仙人掌的茎高容易测量，但高大茎的高度可能有几厘米的误差。重复测量表明茎直径精度在±1厘米以内，而茎高度测量的最大不确定度为±5厘米。一个研究地点（地点O）还进行了3D摄影测量重建，使用一系列借助长杆环绕仙人拍摄的地面图像。作者使用Bentley Systems的Context Capture进行摄影测量模型生成，并使用Autodesk的Meshmixer进行模型细化，包括修剪、平滑和将表面网格转换为实体对象。模型比例根据现场测量进行了验证。

使用有限元软件COMSOL Multiphysics对地点O进行了数值模态分析。作者导入了通过摄影测量生成的3D几何形状，然后在仙人掌基部周围的地面施加固定边界条件。特征频率分析在频域中求解；不施加时间历史输入或激励。所需的材料属性是杨氏模量（E）和密度（ρ）。作者假设ρ恒定在800 kg/m³，并让杨氏模量（这是一个代表植物组合元素的未知体积值）使用Moore等人和Finnegan等人的方法变化。测试了E的不同假设，从恒定的各向同性值到随茎高度变化的值。还进行了敏感性分析，实施了不同的密度值和简化的几何形状。

选择仙人掌地点H进行探索性监测实验，连续记录环境振动数据12天。Raspberry Shake如前所述安装，水平分量任意定向（EH1方位角= 340°）。共振频率跟踪遵循Geimer等人的方法进行。使用Onset HOBO U23系统和辐射屏蔽在现场记录气温，降雨数据来自1公里外的Pima县测量站（实验期间无降雨）。在干燥条件5天后，进行了人工浇水实验，在20分钟内将约75升水洒在茎基部周围3.2平方米的区域上。水量和面积导致平均施水量约为2厘米，模拟了季风风暴期间的降雨。

结果

对11株巨柱仙人掌的环境振动频谱分析显示，基本共振频率（f₁）在0.55至3.7 Hz之间。所有结果均显示水平分量上的运动最大，表明主要是水平偏转，垂直运动的贡献较小。此外，数据经常显示两个间隔很近的一阶模态，例如在仙人掌地点O，f₁ = 0.90 Hz，f₂ = 0.93 Hz。这种紧密相似性对于具有近似径向对称性的物体是预期的，是由不同方向上的几何形状轻微偏差引起的。几何数据和共振频率数据的比较显示，巨柱仙人掌的基本频率与d/h²的比值呈线性比例关系，但与简化的梁理论（方程1）存在偏差，表现为包含一个y轴截距。现场数据的最佳经验拟合为：

f₁ = 14.38 (d / h²) + 0.73

各地点与该趋势存在一些分散，但总体一致性良好（R² = 0.96）。为地点O和H的基本模态确定的阻尼比分别为1.5%和2.1%。

巨柱仙人掌基本频率与简化梁理论的偏差表明样本群体中材料特性不均匀。为了探索这一想法，作者使用方程1以及测量的基本频率和几何比率计算了每个地点的“等效”杨氏模量（E_eq）。作者假设恒定的体积密度为800 kg/m³，该值并非精确已知，但不太可能变化超过±10%。结果显示，等效杨氏模量随矛状茎高度增加而呈现明显趋势，表明较高的矛状茎通常比较矮的矛状茎更硬。有趣的是，有限的数据还显示了一个明显的趋势，即最高的矛状茎不一定具有最大的等效杨氏模量；峰值出现在地点O。

对所有矛状茎测量了高达10 Hz的几个较高频率模态，在许多情况下，明显存在四个模态。这些模态的功率低于基本模态，表明激励水平较低。一个有用的指标是二阶和一阶悬臂弯曲频率之间的比率，对于具有均匀几何形状和材料特性的梁，理论值为6.27。二阶模态是在梁上部具有单个节点点（零位移点）的模态。表1显示了第一频率比，当观察到两个紧密间隔的一阶模态时计算为f₃/f₁，否则为f₂/f₁。第二频率比是当观察到两个一阶模态时为f₄/f₂。频率比值约为4–5，明显小于均匀悬臂梁的预测值，表明材料特性不均匀。比较还显示，第一频率比随矛状茎高度系统性变化，对于较高的仙人掌减小。

数值模态分析预测了仙人掌地点O的前几个振动模态。实施的精确几何形状（尽管经过平滑）意味着材料特性是主要未知数。首次测试实施均匀材料特性匹配了矛状茎的前两个共振频率，但高估了第三和第四个，频率比约为7（即大于均匀悬臂梁）。几次经验测试实施了高度相关的杨氏模量，其依据是观察到巨柱仙人掌肋的直径垂直方向变细。作者发现，杨氏模量从矛状茎基部到顶部呈指数下降可以重现测量的共振频率，在这种情况下，与五个测量模态紧密匹配（比较表1和图4；注意，矛状茎的f₅测量为8.6 Hz，表中未显示）。对于f₁，建模的模态矢量也与现场数据确定的值匹配良好（预测方位角315°，测量值311°）。实施的E从矛状茎基部的4 × 10⁸ Pa下降到顶部的1 × 10⁷ Pa。

在仙人掌地点H的监测于当地时间（MST）2025年3月16日12:00开始，于2025年3月28日09:00结束。前5天为环境条件盛行，随后于3月21日10:00 MST在仙人掌基部洒了75升水。没有自然降雨。共振频率监测显示第一和第二频率均存在明显的昼夜漂移，频率在白天下降，夜间上升。这种模式与温度的变化密切相反；即，共振频率随着白天气温升高而下降，反之亦然，没有观察到相位滞后。每日频率变化范围在5–10%之间，通常f₂的变化较小，f₁的变化较大，这可能与茎不同侧面接受日照变化有关。类似地，某些日子频率变化很小，可能是云层覆盖减少日照的函数。3月21日上午浇水对共振频率漂移没有明显影响；质量增加将表现为频率下降，但并未观察到。

讨论

本研究的结果表明，Raspberry Shake 3D适用于测量巨柱仙人掌的动态特性。确定的共振频率范围通常在0.5至10 Hz之间，在该仪器的精度和灵敏度范围内，并且相对较高的环境激励水平（速度通常约为mm/s）意味着测量并未触及Raspberry Shake的噪声基底。此外，其低质量（约0.6公斤）有助于确保安装不会对脆弱的仙人掌外皮造成损坏。然而，将地震仪安装到垂直茎上需要定制支架，数据表明该支架连同仪器的重量具有自身的振动模态。具体来说，作者在所有地点的测量中观察到14–15 Hz范围内的频谱峰值，这归因于安装的设备。这些模态为评估仙人掌的共振频率设定了上限，未来的支架设计可以改进这一点。

许多自然物体（例如，岩塔、石笋、植物茎、树木）的共振频率在0.5–10 Hz范围内，并且在一阶近似上，悬臂形物体符合f₁ ∝ d/h²的关系。作者的巨柱仙人掌数据大体符合这一预期，但经验线性拟合（方程2）与梁理论存在偏差，表现为包含一个y轴截距。这一发现表明材料特性在测试群体中变化，实际上，作者的分析表明，等效杨氏模量（由方程1计算）对于较高的矛状茎更大。这种效应很可能源于内部木质肋直径的变化，这些肋为巨柱仙人掌茎提供主要结构刚度；较高的仙人掌具有更厚的肋，尤其是在弯曲应力最大的茎基部附近。计算出的等效杨氏模量可以与作者对仙人掌地点O的数值推导值进行比较：E_eq = 3 × 10⁸ Pa，这与模型在茎基部推导出的4 × 10⁸ Pa相似。因此，等效模量最好地代表了茎基部附近的杨氏模量，这是预期的，因为弯曲应变在悬臂梁的基部最大。

二阶和一阶共振频率之间的比较显示偏离了均匀悬臂梁的预期理论值6.27，大多数巨柱仙人掌矛状茎的测量值在4–5范围内。这些偏差可能由多种因素引起，包括密度或刚度变化以及几何形状。为了研究控制参数，作者进行了一系列数值模拟。使用连接圆锥形状的简单初步测试表明，凸起的中间部分（常见于巨柱仙人掌茎）导致频率比增加而非减少，并且只有直径随高度均匀减小（即线性渐缩梁）导致频率比减小，这种形式在天然矛状茎中未观察到。在使用地点O模型（具有精确茎几何形状）的后续测试中，作者改变了密度作为茎高度的函数。作者发现，实施高度相关的密度减小（范围10%）对共振频率比没有影响。只有模拟实施杨氏模量随茎高度指数下降才产生了与现场数据匹配的频率比显著降低。这一发现与Niklas等人基于对类似大型柱状仙人掌Pachycereus pringlei木质部 strands 的破坏性测试结果相似。

杨氏模量随茎高度减小是匹配共振频率测量值（特别是地点O的数据）所必需的结果表明，巨柱仙人掌茎在垂直方向上软化。此外，图3B显示的数据表明，较高的矛状茎其顶部相对更软（表现为较低的频率比）。考虑到提供主要结构刚度的巨柱仙人掌肋的形态学，这一观察结果可以得到解释：肋的直径从茎基部到顶部减小。将单个肋的刚度简化为K = EI，其中I是圆形横截面的惯性矩，E是木材的杨氏模量，并假设肋直径随茎高度h线性减小，表明肋刚度随h⁴减小。这种减小与作者为地点O建模的经验确定的杨氏模量指数下降相差不大。重要的是要注意，作者模型中实施的模量代表了肋、皮层、髓部和外皮在植株全高度的整体效应。此外，尽管肋可能是刚度的主要贡献者，其他组织可能也有贡献。与作者模型确定的杨氏模量（范围10⁷–10⁸ Pa）相比，Niklas和Buchman报告单个巨柱仙人掌肋木材段的杨氏模量在10¹⁰ Pa范围内。这种差异是预期的，因为肋仅占据总茎横截面积的一小部分。

流体动力学实验和模拟越来越多地用于分析可能导致巨柱仙人掌倒塌的风致振动条件和控制因素。此类方法依赖于对巨柱仙人掌材料和振动特性的准确描述；然而，在此之前，没有研究能够提供基于全尺寸原位现场测试的合适输入参数。作者报告的结果因此为流体动力学模拟、测试巨柱仙人掌对不同风况的响应以及分析风致倾倒破坏的条件提供了宝贵的输入参数。过去的模拟结果表明，星形茎横截面和棘刺在改善风绕巨柱仙人掌流动时的尾流行为、减少阻力并限制涡旋脱落引起的侧向力方面起着重要作用。作者报告的模态分析、材料特性和结构表征结果有助于未来更准确地模拟巨柱仙人掌的风致响应。然而，强风期间大应变摇摆的材料和动态特性可能与本文介绍的环境振动结果存在重要差异。植物组织可能具有应变率依赖的粘弹性特性；因此，在本文报告的测量共振特性与高振幅激励事件期间的特性之间可能出现偏差。此外，本文报告的两个地点在小应变环境条件下的阻尼比较低，在较高应变率下可能会增加，有助于风暴期间的能量耗散。根-地相互作用可能类似地影响共振频率和阻尼比，因为地面湿度条件随时间变化（预计频率会因土壤水软化而下降）。需要进一步的测量和新的监测实验来探索这些因素。

在仙人掌地点H超过12天的共振频率监测揭示了f₁和f₂的明显昼夜漂移，每日变化范围在5–10%之间。有趣的是，频率在夜间随着气温下降而上升，在白天随着气温升高而下降。这种模式与大多数过去对岩石特征（如拱门）研究报告的模式相反，在那些研究中，频率随着岩石热膨胀在变暖时增加。方程1为解释共振频率漂移提供了基础：要么质量增加，要么茎在白天变软（弹性模量降低），导致频率下降，每晚可逆循环。产生5–10%频率下降所需的质量变化范围在10–20%，这对于日变化来说不太可能。因此，共振频率漂移可能由日刚度周期驱动，茎在夜间气温较低时变硬，在白天气温较高时变软。与质量类似，观察到的频率变化表明茎刚度存在10–20%的日变化。由于如此大的日刚度变化对于木质肋来说不太可能，并且作者观察到温度和频率之间没有相位滞后，这种变化最可能源于茎表面附近的多汁皮层，表明这种材料的柔韧性受温度调节。

浇水实验除了名义上的温度相关漂移外，没有产生明显的共振频率变化。作者施用的水量估计是仙人掌质量的75%，这是选择较小矛状茎进行测试的部分原因。如果仙人掌能够吸收其中仅25%的水分，质量将增加约20%，频率预计下降约10%。虽然作者观察到f₁和f₂在12天监测期内下降了约7–9%，但这些变化是渐进的且相对于浇水有延迟，尚不清楚这种变化是否超出了预期由逐渐变暖引起的效应。因此，共振频率漂移可用于检测和量化水分吸收引起的质量变化的假设未得到证实。实验未产生明显频率下降的一个合理原因是，所测试的特定巨柱仙人掌在一年中的那个时候并未准备好或不需要快速吸收水分。作者的测量在三月进行，处于多雨冬季末期，远未到最热的夏季月份或随后的季风期（七月至九月），且前几天（3月11日和12日）降下了约10毫米的雨量。因此，未来的实验应在炎热的夏季月份和/或季风季节进行。另一个可能的原因是信号被竞争效应掩盖，即质量增加伴随着刚度增加（方程1），抵消了频率的净变化。建议进行额外的实验来探索这一假设。

结论

作者使用环境振动数据对亚