对多种产品的采用与弃用动态进行建模

《Mathematics and Computers in Simulation》：Modeling the dynamics of adoption and abandonment of multiple products

用户采用与放弃动态的传染病模型研究，提出双产品分段微分方程模型分析用户动态，包含传染性（社交影响）和非传染性（媒体广告）放弃机制，确定临界阈值（R1、R2），证明均衡态存在性与稳定性，建立最优控制问题优化用户获取策略，并通过Facebook和Instagram的DAU数据验证模型预测效果。

　　在当今数字化迅速发展的时代，用户对各类产品的采纳与放弃行为已成为市场研究和产品管理中的重要议题。随着社交媒体平台的普及和竞争日益激烈，如何理解用户在不同产品之间的转换行为，尤其是他们因社交互动或外部因素而放弃使用某个产品的方式，成为企业优化市场策略和提升用户留存率的关键问题。本研究提出了一种新的分室微分方程模型，用于分析用户在两个产品之间的采纳与放弃动态。该模型不仅考虑了用户因社交影响而放弃使用产品的“传染性放弃”现象，还涵盖了因媒体宣传、广告推广或新竞争产品出现等外部因素导致的“非传染性放弃”过程。通过设定关键阈值，研究人员探讨了多种平衡状态的存在性及其局部稳定性，并进一步分析了系统在特定条件下的全局稳定性，以及促进两种产品共存的必要条件。

这一模型的提出源于对现有产品采纳模型的深入反思。传统上，产品采纳模型多用于描述单一产品在市场中的传播过程，例如Bass模型。Bass模型通过一个简单的微分方程揭示了产品如何从初始阶段逐渐扩散至整个市场，其核心思想是将用户分为两类：受到内部影响（即已有用户的推动）的采纳者和受到外部影响（如广告或媒体）的采纳者。然而，这种模型在解释用户如何从一个产品转向另一个产品，以及如何因社交网络中的行为而放弃使用产品方面存在一定的局限性。因此，本研究引入了更为复杂的模型，以捕捉用户在两个产品之间的互动过程，从而更全面地反映用户行为的动态变化。

模型的核心在于将整个用户群体划分为四个主要部分：潜在用户（P）、当前使用产品一的用户（C?）、当前使用产品二的用户（C?）以及已放弃使用产品的用户（Q）。潜在用户指的是尚未开始使用任何产品的人群，他们可能因社交影响或外部因素而进入当前使用某一产品的群体。当前使用某一产品的用户（C?和C?）则代表了在产品一和产品二上的活跃用户，而已放弃使用的用户（Q）则代表了不再使用任何产品的用户。这一划分方式使得模型能够系统地追踪用户在不同产品之间的流动情况，包括他们如何因社交网络中的行为而放弃使用某个产品，或者如何因外部因素而转向另一个产品。

在模型的构建过程中，研究人员特别关注了“传染性放弃”这一现象。传染性放弃指的是用户可能因为他们的朋友或熟人放弃了某个产品而受到影响，进而也选择放弃使用。这种现象在社交媒体和在线社区中尤为常见，因为用户的行为往往受到周围人群的影响。例如，有研究表明，当一个用户的社交网络中越来越多的人放弃使用某个产品时，该用户也更有可能受到影响并放弃使用。这种动态过程类似于病毒传播，因此被称为“传染性放弃”。相比之下，非传染性放弃则源于用户自身的决策，例如他们可能因为产品功能不足、使用体验不佳或发现更符合自己需求的产品而主动停止使用。非传染性放弃通常受到广告、媒体报道、价格变化、政策调整等外部因素的影响。

模型中引入的“传染性放弃”和“非传染性放弃”机制，使得研究人员能够更准确地描述用户行为的复杂性。通过定义两个关键的阈值，R?和R?，分别代表产品一和产品二的传播能力，研究人员可以分析不同条件下产品之间的竞争关系。如果R?大于1，那么产品一可能在长期中占据主导地位；如果R?大于1，产品二则可能成为市场上的主要产品。如果两个阈值均大于1，那么两种产品可能在一定条件下共存。然而，这种共存状态并非总是存在，研究还探讨了在何种条件下一种产品会持续存在，而另一种产品则逐渐消失。这种分析对于企业制定产品战略和市场推广策略具有重要意义，因为它可以帮助企业预测产品在市场中的长期表现，并采取相应的措施来维持或增强其市场份额。

除了平衡状态的分析，本研究还引入了一个最优控制问题，以探讨如何通过外部干预（如广告、营销活动或用户激励措施）来优化产品在市场中的表现。最优控制问题的核心在于寻找一个控制策略，使得某种目标函数最大化。目标函数通常包括用户数量、用户满意度或市场占有率等指标，而控制变量则代表企业可以采取的干预措施。通过分析最优控制问题，研究人员可以确定哪些干预措施最有效，以及它们如何影响用户在不同产品之间的流动。例如，增加广告投入可能会提高潜在用户转化为当前用户的概率，而减少用户流失率则可能通过改善用户体验或提供更好的服务来实现。

在实际应用中，研究人员通过大量的数值模拟来验证模型的理论结果。这些模拟不仅帮助确认模型的合理性，还能够展示不同参数设置下的用户行为变化。此外，研究团队还利用历史数据对模型进行了校准，以进一步验证其适用性。具体而言，他们使用了Facebook和Instagram的每日活跃用户数据，这些数据涵盖了过去11年的季度信息。通过将模型参数与实际数据进行对比，研究人员能够预测这两种平台在未来用户数量的变化趋势。这种基于真实数据的模拟分析，使得模型不仅具有理论价值，还具备实际应用的潜力。

本研究的创新点在于其对用户行为动态的全面分析，尤其是对传染性放弃和非传染性放弃机制的引入。这些机制使得模型能够更真实地反映用户在不同产品之间的转换过程，而不仅仅是单一产品的传播。此外，模型还考虑了用户在两个产品之间的互动，这在传统模型中较为少见。这种多产品交互的视角，为理解用户在竞争产品之间的选择行为提供了新的思路。通过设定关键阈值和分析平衡状态，研究人员能够预测产品在市场中的长期表现，并为企业的市场策略提供理论支持。

本研究的理论成果不仅限于模型的构建和分析，还包括对最优控制问题的探讨。通过引入最优控制变量，研究人员能够帮助企业识别最有效的干预措施，以优化产品在市场中的表现。这种控制策略的分析对于企业制定长期市场战略具有重要的参考价值。例如，企业可以通过增加广告投入或改善用户体验来提高产品一或产品二的用户数量，同时减少用户的流失率。此外，研究还指出，在某些情况下，企业可能需要同时采取多种干预措施，以实现最佳的市场效果。

在实际应用方面，研究人员通过校准模型参数并应用到Facebook和Instagram的历史数据中，展示了该模型在现实世界中的适用性。这种校准过程不仅验证了模型的准确性，还为企业提供了具体的预测工具。通过分析历史数据，研究人员能够识别出影响用户数量变化的关键因素，并据此预测未来用户数量的变化趋势。这种预测能力对于企业制定市场策略和资源分配计划具有重要的指导意义。

综上所述，本研究通过构建一个包含传染性放弃和非传染性放弃机制的分室微分方程模型，深入探讨了用户在两个产品之间的采纳与放弃行为。模型不仅考虑了用户之间的互动，还涵盖了外部因素的影响，从而提供了更全面的用户行为分析框架。通过分析关键阈值和平衡状态的存在性，研究人员能够预测产品在市场中的长期表现，并为企业的市场策略提供理论支持。此外，引入的最优控制问题为企业提供了实际的干预措施，以优化产品在市场中的表现。最后，通过应用模型到Facebook和Instagram的历史数据中，研究人员展示了该模型在现实世界中的适用性，为其进一步推广和应用奠定了基础。这一研究不仅丰富了产品采纳理论，也为企业理解和管理用户行为提供了新的视角和工具。