采用混合训练方法生成的具有时变参数的简化模型的数值研究，该方法结合了自动超简化技术，应用于非线性扩散-反应系统

《Mathematics and Computers in Simulation》：Numerical investigations of reduced-order models with time-varying parameters generated by hybrid training with automatic hyper-reduction in nonlinear diffusion-reaction systems

针对时间变参数的非线性扩散-反应系统，提出混合训练框架与自动超降阶方法，交替使用全阶模型与超降阶模型，动态更新POD基向量，实现计算效率提升约33%-50%。

　　在现代科学与工程领域，随着计算复杂性的不断增长，高精度模拟往往面临巨大的计算成本和资源消耗。特别是在涉及非线性扩散-反应系统的研究中，时间变化参数的存在使得传统的模型降阶方法难以满足高效计算的需求。因此，本文提出了一种新的混合训练框架，结合自动超降阶技术，以提升非线性问题在时间变化参数条件下的计算效率。该框架的核心思想是通过交替使用全阶模型（FOM）和降阶模型（ROM-hyper）来优化训练过程，从而在保证数值精度的前提下实现更快的模拟速度。

传统的模型降阶方法通常分为两个阶段：第一是离线训练阶段，通过高保真度的FOM生成训练数据，并利用数据处理技术如主成分分析（PCA）或奇异值分解（SVD）来提取主导信息，形成低秩子空间；第二是在线阶段，利用离线阶段获得的低秩子空间构建ROM，从而加速模拟过程。然而，这种方法存在两个主要问题：一方面，高保真度的FOM计算成本极高，难以在实际应用中大规模使用；另一方面，SVD在处理大量训练数据时需要耗费大量内存和计算时间，限制了其在复杂系统中的适用性。

为了解决这些问题，本文引入了一种基于自动超降阶的混合训练方法。该方法的关键在于，通过交替使用FOM和ROM-hyper来生成训练数据和残差数据，从而动态更新POD基向量的数量。这种策略避免了在离线阶段预先确定POD基向量数量的限制，使得模型在训练过程中能够根据实际情况自动调整。此外，自动超降阶技术通过减少计算资源的使用，显著降低了计算时间，提高了模型降阶的效率。

在时间变化参数条件下，非线性扩散-反应系统的模型矩阵和雅可比矩阵需要随着每个时间步进行更新，这使得传统的降阶方法在处理这类问题时效率低下。因此，本文提出了一种新的方法，通过在离线训练阶段利用自动超降阶技术，将POD基向量的数量动态调整，从而适应不同时间步下的系统变化。在训练过程中，整个时间跨度被划分为多个等长的时间区间，每个区间内通过FOM或局部ROM-hyper进行模拟，并根据模型切换准则进行动态调整。这种策略不仅提高了计算效率，还确保了数值精度的平衡。

在具体实现上，本文首先介绍了FOM和ROM-hyper的基本概念。FOM是用于非线性问题的高保真度模型，通常基于最小二乘迭代求解器，能够提供精确的数值解。而ROM-hyper则是通过自动超降阶技术对FOM进行降阶处理，从而减少计算复杂度。在离线训练阶段，通过FOM生成的训练数据被用于提取主导信息，形成低秩子空间。在在线阶段，这些低秩子空间被用于构建ROM，以实现快速模拟。

为了进一步提高计算效率，本文提出了一种新的混合训练框架，该框架通过FOM和ROM-hyper的交替使用，结合自动超降阶技术，实现了动态更新POD基向量的数量。在训练过程中，每个时间区间内进行FOM或局部ROM-hyper的模拟，并根据模型切换准则调整基向量的数量。这种方法的优势在于，它能够根据实际情况灵活调整模型复杂度，从而在保证精度的同时提高计算效率。

在数值实验部分，本文选取了多个非线性扩散-反应问题进行验证，以评估所提出方法的计算性能。实验结果表明，通过动态更新POD基向量的数量，模型在训练过程中能够更好地适应时间变化参数的条件。此外，通过调整模型切换准则的容差，可以进一步提高计算效率，使得计算加速率达到33%至50%之间。这些实验结果验证了所提出方法的有效性，并展示了其在实际应用中的潜力。

在实际应用中，时间变化参数的存在使得非线性问题的模拟更加复杂。这些参数通常来源于传感器或接收器，其与时间状态之间的关系是非线性的，因此问题被定义为非线性演化系统。在这种情况下，模型矩阵和雅可比矩阵需要随着每个时间步进行更新，这不仅增加了计算负担，还降低了模型降阶的效率。为了解决这一问题，本文提出了一种基于自动超降阶的混合训练方法，通过动态调整POD基向量的数量，使得模型能够更好地适应时间变化参数的条件。

在具体实现中，本文采用了有限体积法（FVM）来构建非线性扩散-反应方程的FOM和ROM-hyper。为了简化计算过程，避免显式方案中的CFL条件，本文在求解过程中采用了后向欧拉方案。这种方法能够有效减少计算复杂度，同时保证数值稳定性。通过自动超降阶技术，模型能够在训练过程中动态调整基向量的数量，从而减少计算资源的使用，提高计算效率。

在模型切换方面，本文提出了一种基于容差的模型切换准则。该准则能够根据实际计算需求动态调整模型复杂度，使得模型在不同时间步下能够保持最佳的计算效率。此外，模型切换算法的设计使得训练过程能够高效进行，避免了传统方法中因固定模型复杂度而导致的计算资源浪费。实验结果表明，通过合理设置模型切换准则的容差，计算效率可以得到显著提升，同时保持较高的数值精度。

在理论分析部分，本文探讨了所提出方法的数学基础和实现机制。通过引入自动超降阶技术，模型能够在训练过程中动态调整POD基向量的数量，从而适应不同时间步下的系统变化。这种方法的核心思想是，通过交替使用FOM和ROM-hyper，结合自动超降阶技术，实现模型在训练过程中的自适应更新。这种策略不仅提高了计算效率，还确保了数值精度的平衡，使得模型在处理时间变化参数的非线性问题时更加高效和可靠。

在实际应用中，本文通过数值实验验证了所提出方法的有效性。实验结果表明，通过动态更新POD基向量的数量，模型能够在不同时间步下保持较高的计算效率。此外，通过调整模型切换准则的容差，计算效率可以得到进一步提升，使得计算加速率达到33%至50%之间。这些实验结果验证了所提出方法的可行性，并展示了其在实际应用中的潜力。

在结论部分，本文总结了所提出方法的主要成果。通过引入自动超降阶技术，模型能够在训练过程中动态调整POD基向量的数量，从而适应不同时间步下的系统变化。这种方法的优势在于，它能够根据实际情况灵活调整模型复杂度，提高计算效率，同时保持较高的数值精度。此外，模型切换准则的设计使得训练过程能够高效进行，避免了传统方法中因固定模型复杂度而导致的计算资源浪费。这些成果为非线性扩散-反应系统在时间变化参数条件下的高效模拟提供了新的思路和方法。

在后续研究中，本文提出了一些未来的研究方向。首先，可以进一步优化模型切换准则，以提高计算效率和数值精度的平衡。其次，可以探索更高效的自动超降阶算法，以减少计算资源的使用。此外，还可以研究其他类型的非线性问题，以验证所提出方法的普适性。最后，可以结合机器学习技术，进一步提升模型的自适应能力，使得模型在处理复杂系统时更加高效和可靠。

综上所述，本文提出了一种新的混合训练框架，结合自动超降阶技术，用于非线性扩散-反应系统在时间变化参数条件下的高效模拟。通过动态调整POD基向量的数量，模型能够在训练过程中更好地适应系统变化，提高计算效率。此外，模型切换准则的设计使得训练过程能够高效进行，避免了传统方法中因固定模型复杂度而导致的计算资源浪费。这些成果为非线性问题在时间变化参数条件下的高效模拟提供了新的思路和方法，并展示了其在实际应用中的潜力。