一种用于二维热传导方程中未知参数识别的高阶稳定方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：A high-order stable method for unknown parameter identification in the 2D heat conduction equation

二维逆热传导问题的空间-时间谱方法研究，提出结合Legendre-Galerkin空间离散和Legendre-tau时间离散的高效算法，采用隐式-显式迭代与快速Legendre变换处理非线性项，通过矩阵分解和稀疏预处理优化计算，验证了方法在噪声下的稳定性及高精度特性。

　　本文探讨了一种高效的时空谱方法，用于求解二维热传导方程的参数识别问题。这一问题在科学和工程领域具有重要意义，尤其是在逆问题的研究中。逆热传导问题（Inverse Heat Conduction Problem, IHCP）的目标是根据测量的温度数据，确定未知参数，如热导率、热源强度和边界热通量等。这类问题通常具有高度的不适定性，对输入数据的小扰动非常敏感，因此求解过程面临较大的挑战。为了克服这些问题，研究者们提出了多种数值方法，其中涉及时间依赖控制参数的逆问题尤为复杂且具有实际意义。

文章提出的时空谱方法结合了空间方向上的Legendre-Galerkin谱方法和时间方向上的Legendre-tau谱方法。空间离散化采用Legendre-Galerkin谱方法，而时间方向则使用Legendre-tau谱方法。对于半离散方案，本文在L2范数下建立了最优误差估计，以确保方法的精度和稳定性。在处理由高维离散化产生的大规模矩阵系统时，采用张量积矩阵分解与稀疏预处理相结合的方式，以提升计算效率。此外，为了应对长时间模拟带来的计算困难，引入了多区间迭代方法，以解决单区间长时间计算中的数值不稳定性问题，同时提高计算效率。对于噪声扰动的影响，本文也探讨了该算法的稳定性表现。

在实际应用中，时间依赖的非线性项通过快速Legendre变换（Fast Legendre Transform, FLT）进行高效计算，从而加快求解速度。这种方法不仅结合了Legendre方法在稳定性方面的优势，还利用了Chebyshev方法在实现上的简便性，通过FLT进一步提升了计算效率。文章指出，这种时空谱方法能够在空间和时间两个方向上实现指数级的收敛速度，表明其在求解二维逆热传导问题时具有较高的效率和鲁棒性。

在方法的实施过程中，采用了隐式-显式迭代方案，以兼顾计算的稳定性和效率。具体而言，空间方向上采用Legendre-Galerkin方法，将问题转化为稀疏矩阵形式，而时间方向则利用Legendre-tau方法进行处理。通过这种方式，不仅减少了计算复杂度，还提高了数值求解的精度。对于非线性项的处理，本文利用伪谱方法在Chebyshev-Gauss-Lobatto节点上进行计算，并通过FLT进一步优化计算过程，从而有效提升算法的效率。

在逆问题的研究中，除了求解精度和稳定性，还必须考虑数值方法的鲁棒性。本文提出的方法在面对不同噪声水平的输入数据时，依然能够保持较高的稳定性，这使得其在实际工程应用中具有较大的潜力。通过一系列数值实验，本文验证了该方法在求解二维逆热传导问题时的高效性和准确性，为后续相关研究提供了理论支持和实际应用参考。

文章的结构安排如下：第二部分介绍了相关的记号、引理以及函数表示；第三部分证明了半离散Legendre-Galerkin方法的收敛性；第四部分分别讨论了单区间和多区间时间方向上的迭代方法，并介绍了基于变换的时空LG-LT方法；第五部分通过数值实验验证了所提出方法的性能；最后，第六部分总结了研究的主要结论。

在空间方向的处理中，采用Legendre-Galerkin方法，该方法利用优化的基础函数和正交性，生成高效的稀疏矩阵，从而在保持稳定性的同时，提高了计算效率。相比之下，标准的Galerkin方法在处理这类问题时可能存在计算复杂度较高的问题。因此，Legendre-Galerkin方法在空间方向上的应用具有明显优势。在时间方向上，采用Legendre-tau方法，这是一种特殊的LPG方法，适合处理奇数阶问题，能够平衡精度与效率。

对于二维逆热传导问题，由于其在空间和时间方向上的复杂性，传统的数值方法往往难以满足高精度和高效计算的要求。本文提出的方法在两个方向上均采用高阶谱方法，通过张量积矩阵计算和稀疏处理技术，有效降低了计算复杂度，同时保持了较高的精度。此外，为了应对长时间模拟中的数值不稳定性问题，引入了多区间迭代方法，将问题分解为多个子区间进行求解，从而提升了计算效率和稳定性。

在方法的具体实现中，作者详细阐述了如何将非线性项通过伪谱方法在Chebyshev-Gauss-Lobatto节点上进行计算，并利用FLT技术进一步优化计算过程。这种方法不仅能够高效处理非线性项，还能够显著减少计算时间，从而提高整体求解效率。同时，通过数值实验，作者验证了所提出方法在不同噪声水平下的稳定性，表明其在实际应用中具有较强的鲁棒性。

在理论分析方面，本文对逆问题的解的存在性、唯一性和稳定性进行了讨论，并通过数值实验进一步验证了这些理论结果。此外，作者还对比了其他研究者提出的方法，如有限点法、径向基函数法、有限差分法等，指出本文提出的方法在多个方面具有优势，特别是在处理高维和长时间模拟时，能够更高效地解决计算复杂度和数值稳定性问题。

本文提出的时空谱方法不仅在理论上具有坚实的基础，而且在实际应用中也表现出良好的性能。通过数值实验，作者展示了该方法在求解二维逆热传导问题时的高精度和高效性，证明了其在工程优化、材料表征和热管理系统设计中的潜在应用价值。此外，作者还指出，由于非线性项的处理在时间方向上采用Legendre-tau方法，因此该方法在处理时间依赖的控制参数问题时，能够有效避免传统方法中可能存在的计算误差累积问题。

综上所述，本文提出了一种高效的时空谱方法，用于求解二维逆热传导问题。该方法结合了Legendre-Galerkin方法在空间方向上的优势和Legendre-tau方法在时间方向上的适用性，通过张量积矩阵计算和稀疏处理技术，显著提升了计算效率。同时，通过多区间迭代方法和FLT技术，进一步优化了计算过程，确保了方法在长时间模拟中的稳定性。数值实验的结果表明，该方法在求解精度和效率方面均表现出色，具有广泛的应用前景。