具有不确定Hurwicz准则和不确定规划的 portfolio 双目标优化

《Mathematics and Computers in Simulation》：Portfolio bi-objective optimization with uncertain Hurwicz criterion and uncertain programming

投资组合优化问题在不确定性和数据不足条件下研究。提出结合不确定理论及Hurwicz准则的双目标模型，通过三步法转化为单目标优化，并采用最小二乘估计处理参数。验证模型在NASDAQ数据上的有效性，平衡风险与收益。

　　在当今复杂多变的金融市场中，突如其来的事件如公共卫生危机、金融危机以及军事冲突等，显著增加了市场的不确定性。此外，现实中的金融环境往往面临诸如样本数据不足和信息表达模糊等挑战。例如，投资者可能会听到诸如“收益率大约为5%”或“这可能是一只高风险股票”这样的表述，这些模糊的词汇如“大约”和“可能”并不具备随机变量的特性。因此，传统的基于概率理论的模型在处理这些不确定性时显得不够有效。面对这一问题，众多研究者开始探索模糊环境下的投资组合优化方法。

本文提出了一种结合不确定性理论与Hurwicz准则的不确定投资组合优化模型，旨在应对样本数据不足和信息表达模糊的现实问题。首先，我们引入了不确定Hurwicz准则，并对其数学性质进行了深入分析。随后，我们构建了一个基于该准则的双目标投资组合优化模型，该模型在考虑投资多样化的同时，对收益潜力和风险进行了平衡。为了使模型更具可操作性，我们提出了一种三步骤的方法，将其转化为两个专注于单一目标的优化模型。此外，我们还探讨了在观测数据有限的情况下，如何估计不确定收益率的未知参数。最后，我们通过数值模拟验证了不确定Hurwicz准则的适用性以及所提出模型的有效性。

投资组合优化作为金融管理中的核心任务，其目标在于找到一种最优的资产配置方式，以实现收益最大化并控制风险。在这一领域，Markowitz提出的均值-方差模型被认为是具有里程碑意义的突破。他的研究不仅推动了投资组合优化理论的发展，还激发了学术界和实务界对这一模型的进一步探索。随着研究的深入，学者们开发了多种计算方法，以提高均值-方差模型在实际应用中的效率。例如，Perold提出了适用于多种投资组合模型的高效计算方法，而Ma等人则在投资组合构建前，运用不同的预测模型对股票进行筛选，并将预测结果整合到均值-方差和omega模型的优化过程中。

在处理全球资产配置问题时，Han和Li研究了全球经济政策不确定性对资产配置的非对称影响，而Gunjan和Bhattacharyya则回顾了多种用于投资组合优化和管理的古典、统计和智能方法。然而，方差在衡量收益波动时，将上升和下降的偏离视为同等重要，这与投资者主要关注下行风险的现实需求并不一致。为此，Rigamonti和Lucivjanska开发了一种新型的PCA-MAP策略，用于估计半方差矩阵，从而优化关注下行风险的资产配置。Chen等人提出了基于Wasserstein度量的分布鲁棒均值-绝对偏差模型，以应对投资组合选择中的数据不确定性。Behera等人则提出了一种结合机器学习和均值-VaR模型的混合投资策略，该策略在实际表现中优于传统基准。

上述研究主要建立在概率理论的框架下，假设风险资产的收益率是随机变量，并且需要足够的样本数据来估计其概率分布。然而，现实中的金融市场常常存在样本数据不足和信息模糊的问题。例如，在突发事件频发的市场环境中，历史数据可能无法准确反映新的风险因素，从而限制了模型的预测能力。因此，越来越多的研究者开始探讨模糊环境下的投资组合优化问题。Liu等人研究了在模糊环境中，如何处理最小交易单位的限制。Gupta等人则运用一致的模糊数来有效建模资产收益率和投资者的感知。Wang等人引入了一种创新的三阶段决策模型，该模型结合了累积前景理论和排序关系，用于模糊投资组合选择。Jalota等人则提出了一种新的方法，用于在构建模糊投资组合时，将投资者对不同属性的偏好纳入考虑。

尽管在模糊投资组合优化领域取得了显著进展，但在利用模糊变量建模证券收益率时仍存在一些矛盾。为了解决这一问题，Liu在2007年提出了不确定性理论。该理论目前被广泛应用于投资组合优化问题的研究中。Zhai等人构建了一个综合的不确定均值-方差投资组合模型，该模型涵盖了多个评估标准。Huang等人提出了一个突破性的不确定风险指数模型，并随后引入了其确定性等价形式。Feng等人研究了在专家评估的基础上，如何确定未来资产收益率的不确定投资组合选择。Kar等人则构建了一个多目标不确定投资组合选择模型，其中平均收益率被视为期望值，风险通过方差进行量化，并结合交叉熵发散来捕捉证券收益率之间的差异。Mittal和Srivastava深入研究了在不确定环境中如何解决投资组合选择问题，并提出了一种混合智能算法。Hong等人则利用不确定性理论构建了一个多目标均值-半方差模型，用于项目选择。

Hurwicz准则由经济学家Leonid Hurwicz提出，是一种用于决策分析的准则，旨在在乐观和悲观结果之间取得平衡。该准则在多标准决策中被用来选择最佳的替代方案，通过考虑最佳可能结果（最大化收益）和最差可能结果（最小化损失）的加权组合来实现。在本文中，我们引入了Hurwicz准则用于不确定变量的环境，并对其数学性质进行了分析。

在构建投资组合时，如果样本数据不足且信息表达模糊，那么风险资产的收益率可以被建模为不确定变量。本文研究了在这些条件下，如何优化投资组合的问题。我们构建了一个基于Hurwicz准则的双目标投资组合优化模型，该模型在考虑投资多样化的同时，对收益潜力和风险进行了平衡。为了使模型更具可操作性，我们提出了一种三步骤的方法，将其转化为两个专注于单一目标的优化模型。此外，我们还探讨了在观测数据有限的情况下，如何估计不确定收益率的未知参数。最后，我们通过数值模拟验证了不确定Hurwicz准则的适用性以及所提出模型的有效性。

在金融市场的实际应用中，样本数据不足和信息模糊是常见的问题。传统的基于概率理论的方法在处理这些情况时显得力不从心。通过引入不确定性理论，我们可以更准确地描述投资组合的收益率，使其更适合现实中的不确定性环境。Hurwicz准则允许投资者在追求高收益和控制风险之间找到平衡，这在实际操作中具有重要意义。例如，在数据有限或信息模糊的情况下，该准则可以帮助投资者做出更明智的决策。此外，本文提出的双目标投资组合优化模型考虑了投资多样化，这在实际操作中可以通过精心选择多样化的资产来实现。例如，将不同类型的股票、债券和其他金融工具纳入投资组合，可以有效分散风险。对于金融机构的管理者而言，使用不确定性理论和Hurwicz准则进行投资组合优化，可以提供更全面的风险和收益视角。管理者可以利用这一方法更好地理解不同风险偏好对投资组合选择的影响。例如，他们可以为不同类型的投资者（风险规避型或风险偏好型）制定个性化的投资组合策略。

本文的结构如下：在第二部分，我们将讨论为何选择不确定性理论作为研究框架。在第三部分，我们引入不确定Hurwicz准则的定义，并推导其相关的计算公式。在第四部分，我们构建了一个不确定双目标Hurwicz准则-风险指数-熵模型。在第五部分，我们将构建的双目标模型转化为两个专注于单一目标的优化模型。在第六部分，我们使用参数估计方法来计算不确定收益率的未知参数。在第七部分，我们将通过数值模拟验证所提出模型和方法的适用性。最后，我们将提供本文的结论。

不确定性理论的引入，为处理金融市场中的不确定性问题提供了新的视角。该理论的核心在于对不确定性进行量化和建模，以应对数据不足和信息模糊的挑战。在金融市场的实际操作中，样本数据的缺乏往往使得传统的概率方法难以应用。因此，不确定性理论成为一种更为合适的工具，用于描述投资组合的收益率。通过引入不确定性理论，我们可以将投资组合的收益率视为不确定变量，从而更好地捕捉现实中的不确定性因素。

Hurwicz准则的引入，使得投资者能够在收益潜力和风险之间找到平衡。该准则通过调整权重系数，允许投资者在不同的风险偏好之间进行权衡。例如，在风险规避和风险偏好之间，投资者可以根据自身的风险承受能力，选择合适的权重系数。这种灵活性使得Hurwicz准则在处理不确定环境下的投资组合优化问题时，具有重要的应用价值。此外，本文提出的模型不仅考虑了收益潜力和风险，还通过引入熵的概念，进一步量化了证券收益率之间的差异。

在实际应用中，投资组合优化需要考虑多个因素，包括收益潜力、风险控制以及投资多样化。通过引入不确定Hurwicz准则和熵的概念，我们构建了一个双目标投资组合优化模型，该模型能够在收益潜力和风险之间找到平衡。在处理样本数据不足的问题时，我们使用了参数估计方法，特别是最小二乘估计，来计算不确定收益率的未知参数。这种方法能够有效利用有限的观测数据，提高模型的准确性。

通过数值模拟，我们验证了所提出模型的有效性。我们使用了纳斯达克交易所的数据，随机选择了10只风险资产（如特斯拉、苹果、亚马逊、谷歌、AMD、微软、BIVI、AU、ARL和BANC），并收集了这些资产从2021年1月1日至2022年12月31日的月度收益率数据。假设这些资产的月度收益率服从正态不确定性分布，并使用了实证数据来估计其分布参数。通过模拟，我们发现所提出的模型在收益潜力和风险控制方面表现良好，并能够有效应对样本数据不足和信息模糊的问题。

综上所述，本文的研究成果主要体现在两个方面：首先，我们成功地将Hurwicz准则引入到不确定环境下的投资组合建模中，这一框架增强了模型的实际相关性；其次，我们构建了一个双目标投资组合优化模型，该模型在考虑投资多样化的同时，对收益潜力和风险进行了平衡。通过引入熵的概念，我们进一步量化了证券收益率之间的差异，从而提高了模型的准确性。此外，我们还探讨了在观测数据有限的情况下，如何估计不确定收益率的未知参数，并通过参数估计方法提高了模型的适用性。

本文的研究不仅对投资组合优化理论的发展具有重要意义，还为实际金融市场的投资决策提供了新的方法。通过引入不确定性理论和Hurwicz准则，我们能够更准确地描述投资组合的收益率，并在收益潜力和风险之间找到平衡。这在实际操作中具有重要的应用价值，特别是在数据不足或信息模糊的市场环境中。此外，本文提出的模型能够有效应对投资组合优化中的多样化需求，帮助投资者制定更加合理的投资策略。

未来的研究方向可以包括进一步优化模型的计算效率，以及探索更多的实际应用场景。例如，可以将所提出的模型应用于不同类型的金融资产，如房地产、商品和外汇等，以验证其在不同市场环境下的适用性。此外，还可以研究如何将更多的智能算法整合到投资组合优化过程中，以提高模型的预测能力和适应性。通过这些研究，我们可以进一步完善投资组合优化理论，并为实际金融市场的投资决策提供更加全面和有效的支持。