艾林根非局部弹性理论中的瑞利波：改进核函数的应用

《International Journal of Engineering Science》：Rayleigh waves within Eringen’s nonlocal elasticity theory: Use of modified kernels

本研究基于Eringen的非局部弹性积分理论，针对具有平界面的弹性半空间平面应变问题，通过引入镜像项修正核函数，满足无 traction 边界条件，并利用拉普拉斯变换精确求解控制方程。结果表明，修正后的模型得到的解不表征表面波，如瑞利波，揭示非局部积分模型存在缺陷。

　　在非局部弹性理论的研究中，Eringen的原始线性理论以其积分算子的形式著称。这一理论在描述材料内部应力与应变之间的关系时，引入了非局部效应，即材料中某一点的应力不仅取决于该点的应变，还受到其周围区域应变状态的影响。这一思想为理解材料微观结构对宏观力学行为的影响提供了新的视角。在本文中，作者探讨了如何将这一理论应用于弹性半空间中波的传播问题，特别是关注是否能够产生类似Rayleigh波的表面波。

非局部弹性理论的一个核心特点是它通过积分算子来表达非局部应力。具体来说，非局部应力 $ t_{ij} $ 与局部应力 $ \sigma_{ij} $ 之间的关系是通过一个积分核函数 $ \alpha $ 来实现的。这一核函数在不同的研究中可能具有不同的形式，但其作用是确保非局部效应的引入。例如，在一些文献中，核函数被定义为一个与距离 $ |x - \xi| $ 相关的函数，其形式可能涉及修正贝塞尔函数 $ K_0 $，这使得非局部应力的计算不仅依赖于局部应变，还考虑了材料中不同点之间的相互作用。

对于二维问题，作者提出了一种改进的核函数形式，该形式考虑了半空间几何结构的特点，并引入了一个参数 $ \Gamma $。当 $ \Gamma = 0 $ 时，核函数与Nobili和Pramanik（2025）所选择的形式一致；而当 $ \Gamma = 1 $ 时，则与Pham和Vu（2024）的核函数一致。这种改进的核函数不仅满足了边界条件，还使得在求解运动方程时能够更准确地反映非局部效应。通过这种方法，作者能够确保在弹性半空间中，边界处的牵引自由条件被精确地满足。

在处理二维弹性半空间中的波传播问题时，作者采用了时间谐波形式的运动方程。这种形式的方程通常用于描述周期性波动，其基本思想是将时间变量转换为复频率 $ \omega $，从而简化问题的分析。在时间谐波条件下，运动方程可以通过引入非局部应力的表达式来描述。非局部应力 $ t_{ij} $ 的计算依赖于积分算子，而这一积分算子的核函数则被选择为能够满足边界条件的形式。

为了更清晰地分析非局部应力与运动方程之间的关系，作者首先将积分表达式转换为拉普拉斯卷积形式。这一转换使得积分操作可以在拉普拉斯变换域中更方便地进行。通过这一方法，作者能够将复杂的积分运算转化为更易于处理的代数运算，从而更有效地求解运动方程。此外，作者还讨论了积分核函数在不同情况下的具体形式，以及这些形式如何影响非局部应力的计算。

在求解运动方程的过程中，作者发现即使使用精确的积分方法，所得到的解并不表示表面波。这一结果表明，尽管非局部弹性理论能够更全面地描述材料的力学行为，但在某些情况下，它可能无法准确预测表面波的存在。这种现象引发了对非局部弹性模型有效性的深入思考。作者指出，这可能意味着某些非局部弹性模型在描述特定类型的波时存在不足，或者需要进一步的修正和优化。

此外，作者还提到，在使用非局部弹性理论进行建模时，需要注意物理问题与数学模型之间的区别。虽然非局部弹性理论在数学上是自洽的，但其在物理上的表现可能并不完全符合预期。例如，在经典弹性理论中，表面波（如Rayleigh波）的存在是可以通过适当的边界条件和材料参数确定的。然而，在非局部弹性模型中，由于引入了积分算子，可能会导致一些物理现象的缺失或偏差。因此，作者强调需要对非局部弹性模型进行更深入的研究，以确保其能够准确反映实际材料的行为。

本文的结论部分指出，尽管非局部弹性理论在数学上是严谨的，但在某些情况下，其结果可能与物理现实不符。这种不一致可能是由于模型本身的局限性，或者由于在处理特定边界条件时未能充分考虑材料的非局部特性。因此，作者建议在未来的研究中，应进一步探索非局部弹性模型的改进方法，特别是在处理表面波和边界条件时，需要更加精确地定义积分核函数，以确保模型能够准确描述实际材料的响应。

总的来说，本文通过引入改进的非局部弹性模型，探讨了弹性半空间中波的传播问题。作者发现，即使使用精确的积分方法，所得到的解也不代表表面波，这表明非局部弹性模型在某些情况下可能存在不足。这一结果对非局部弹性理论的应用提出了挑战，并促使研究人员重新审视该理论的有效性和适用范围。通过这种分析，作者为后续研究提供了重要的参考，同时也强调了在建模过程中需要更加谨慎地处理边界条件和材料参数，以确保模型能够准确反映实际物理现象。