综述：基本解法和高阶延拓法在热疗过程中非线性生物热传递问题中的应用

《Journal of Thermal Biology》：The method of fundamental solutions and a high order continuation for nonlinear bioheat transfer problems during hyperthermia treatment

本文创新性地将基本解法（MFS）与高阶延拓法（HOCM）相结合，为求解温度依赖性血液灌注引起的非线性生物热传递问题提供了强有力的数值工具。该方法通过泰勒展开将非线性问题转化为线性序列，并利用MFS与径向基函数（RBF）进行无网格离散，有效预测了热疗过程中皮肤组织的温度分布，对优化治疗方案、减少健康组织损伤具有重要价值。

　　

在肿瘤治疗领域，高温治疗（Hyperthermia）作为一种重要的辅助治疗手段，通过有选择地升高肿瘤组织温度，能够直接杀伤癌细胞或增强放疗、化疗的疗效。然而，治疗过程中精确控制热量分布、避免损伤周围健康组织，始终是临床实践中的核心挑战。这一挑战的解决，高度依赖于对生物体内复杂热传递过程的精准预测。本文聚焦于这一关键问题，深入探讨了如何利用先进的数值方法求解非线性生物热传递模型，特别是针对二维皮肤组织在高温治疗下的温度分布。

数学建模：非线性生物热传递问题

生物热传递过程通常采用Pennes生物热传递模型来描述。该模型考虑了组织内的热传导、血液灌注带来的热量交换以及代谢产热等因素。标准的Pennes方程是一个线性偏微分方程。然而，大量研究表明，生物组织的热物理性质并非恒定不变，其中，血液灌注率（ω_b）与局部组织温度密切相关。当血液灌注率被建模为温度的函数时，例如线性函数、二次函数或指数函数，Pennes方程便从线性问题转变为非线性问题。这种非线性特性更贴近生理实际，但也使得方程的求解变得异常复杂。本文重点研究了血液灌注率随温度变化的三种典型情况，从而构建了更具一般性的非线性生物热传递数学模型。

高阶延拓法（HOCM）：化解非线性的利器

面对非线性难题，高阶延拓法（High Order Continuation Method, HOCM）提供了一条有效的解决路径。HOCM的核心思想是将非线性问题的解视为某个路径参数的函数，并利用泰勒级数展开，将非线性问题转化为一系列线性问题。具体而言，该方法从某个已知的初始解出发，将解（包括温度场和可能的控制参数）表示为关于路径参数的截断泰勒级数。通过逐阶求解由此推导出的线性方程，可以逐步构建出完整的解曲线分支。这种方法的最大优势在于，它将复杂的非线性求解过程分解为多个相对简单的线性求解步骤，并且能够高精度地追踪解随参数变化的整个路径，包括可能存在的分岔行为。

基本解法与径向基函数（MFS-RBF）：高效的无网格离散策略

为了高效求解HOCM过程中产生的一系列线性偏微分方程，本文采用了基本解法（Method of Fundamental Solutions, MFS）与径向基函数（Radial Basis Functions, RBF）相结合的无网格数值方法。MFS是一种边界型配点法，它使用控制方程的基本解作为基函数，这些源点布置在物理区域的外部，从而使得近似解在区域内自动满足控制方程，仅需在边界上施加边界条件即可。这种方法无需像有限元法那样划分网格，对于复杂几何形状的区域具有显著优势。

当控制方程是非齐次的（即包含源项或非齐次项）时，单一的MFS不再直接适用。此时，RBF发挥了关键作用。RBF是仅依赖于点之间欧氏距离的函数，具有很强的空间插值能力。通过RBF来近似非齐次项，并构造出对应的特解，可以将非齐次问题转化为齐次问题进行处理，进而继续应用MFS。这种MFS-RBF结合的策略，有效地处理了问题中的非齐次项。此外，对于变系数算子等更复杂的情况，还可以进一步结合类比方程法（Analog Equation Method, AEM），将原方程转化为一个已知基本解的标准形式（如泊松方程）进行求解。

数值应用与讨论

通过数值实验，本文验证了所提出的HOCM-MFS-RBF混合算法在求解二维非线性生物热传递问题中的有效性和精确性。计算在一个矩形皮肤组织模型上进行，采用了文献中报道的典型组织热物性参数。研究重点考察了血液灌注率的不同非线性模型（线性、二次、指数）对组织内温度分布的显著影响。

结果表明，该方法能够稳定、准确地计算出在不同加热条件下皮肤组织的温度场。通过比较不同血液灌注模型下的温度分布，可以清晰地看到非线性效应的重要性：忽略血液灌注随温度的变化会导致对温度，特别是高温区域温度的预测出现显著偏差。这突显了在高温治疗规划中采用非线性模型的必要性，以实现对治疗效果的精确评估和对健康组织的有效保护。算法的鲁棒性使其能够完整地计算出解分支，为深入分析生物热传递的非线性行为提供了强有力的工具。

结论

本文成功地将高阶延拓法（HOCM）与基本解法-径向基函数（MFS-RBF）无网格方法相结合，建立了一个求解非线性生物热传递问题的强大数值框架。该工作揭示了血液灌注率的温度依赖性（采用线性、二次和指数模型描述）对热疗过程中组织温度分布的关键影响。所发展的HOCM-MFS-RBF算法不仅避免了传统网格划分的复杂性，而且通过高阶延拓技术高效处理了强非线性，为高温治疗以及其他生物热传递相关领域的精确模拟和优化设计提供了新的有效途径。这项研究有助于推动个性化、精准化的热疗方案发展，最终目标是提升治疗效果并最大限度保护患者健康。

作者贡献声明

El-Houssaine El-Asri：负责原始稿件的撰写、可视化、软件实现、方法论研究、调查、形式分析和概念化。Abdeljalil Tri：负责稿件审阅与编辑、验证、监督、方法论研究和调查。Bouazza Braikat：负责稿件审阅与编辑、验证、监督、方法论研究、调查和概念化。Hamid Zahrouni：负责稿件审阅与编辑、验证。

利益冲突声明

作者El-Houssaine EL-ASRI, Abdeljalil TRI, Bouazza BRAIKAT 和 Hamid ZAHROUNI声明，关于题为“基本解法和高阶延拓法在热疗过程中非线性生物热传递问题中的应用”的论文的发表不存在任何利益冲突，并且该论文是原创的，从未发表过。

致谢

本工作得到了摩洛哥国家科学技术研究中心的部分支持。