基于张量奇异值分解的高维低秩三阶张量自回归时间序列预测方法研究

《Expert Systems with Applications》：High-dimensional low-rank three-way tensor autoregressive time series predictor

本文提出了一种结合张量奇异值分解（t-SVD）与自回归（AR）模型的低秩张量自回归预测器（LOTAP），通过快速傅里叶变换将优化问题分解为四个具有闭式解的子问题。相比基于Tucker分解的算法，LOTAP在保持预测精度的同时将计算复杂度从O(n3r)降至O(n3+n2r2)，速度提升2-6倍，且更适用于真实场景中的低秩结构数据预测。

　　

核心贡献

本文的核心贡献总结如下：

1. 1.
   首次将截断式张量奇异值分解（t-SVD）与自回归（AR）模型结合，提出低秩张量自回归预测器（LOTAP），用于三阶张量时间序列预测。
2. 2.
   LOTAP将预测问题转化为最小二乘优化模型，通过快速傅里叶变换和t-SVD分解为四个解耦子问题（涉及回归系数、f-对角张量、左右正交张量），并提出交替最小化算法，每个子问题均存在闭式解。该算法将迭代复杂度从O(n³r)显著降低至O(n³+n²r²)，且因保持张量数据低秩特性而具有更广的适用性。

算法描述

本节提出基于截断t-SVD的三阶张量时间序列学习与预测新算法。第一步，通过结合AR模型和截断t-SVD的优化问题学习时间参数；第二步，利用所得参数预测下一时间点的张量数据。

复杂度分析

相较于基于Tucker分解的算法（如MOAR、MCAR、BHT-ARIMA），t-SVD类算法在张量填充问题中已展现优越性。LOTAP通过保留内在低秩结构，在计算效率和应用范围上均优于Tucker基方法。

数值实验

通过合成数据集和三个真实数据集（规模100-1000数据点）验证LOTAP性能。实验在MATLAB R2022b环境中进行，结果表明LOTAP在多种任务中均能实现高效精准预测。

结论

LOTAP算法通过截断t-SVD技术提取数据内在时间相关性，结合AR模型进行预测，在适用性和速度上均优于Tucker基方法。数值实验证实其在不同数据集上的有效性，为高阶时间序列预测提供了新思路。