基于有效集方法的非凸三次多项式成本模型高效电力调度优化

《Franklin Open》：Efficient Power Dispatch Optimization via the Active Set Approach for Nonconvex Third-Degree Polynomial Cost Models

本文针对三次多项式成本函数的经济调度问题(EPDCCFs)，提出采用有效集算法(ASA)这一约束非线性优化方法。研究通过3单元、5单元、6单元、13单元和26单元等多种规模电力系统的测试验证，表明ASA能够高效计算总燃料成本，并以更少的迭代次数显著减少计算时间，为处理高阶多项式成本函数的电力经济调度问题提供了有效的解决方案。

　　

在电力系统的核心运营管理中，经济调度(Economic Dispatch, ED)是一个至关重要且持续受到关注的课题。其目标是在满足电网负荷需求和各种物理约束的前提下，合理分配各发电机组的有功出力，使得整个系统的总发电成本降至最低。长期以来，出于计算简便性的考虑，发电机的燃料成本曲线通常被近似为简单的二次函数。然而，这种简化牺牲了精度，因为实际热力发电机组的成本特性往往表现出更强的非线性。特别是考虑到阀点负载(Valve-Point Loading, VPL)效应——即蒸汽阀门依次开启时引起的输入-输出特性曲线的非光滑、非凸变化——采用更高阶的多项式，尤其是三次多项式，能够更精确地刻画发电机组的真实成本特性。尽管这带来了模型准确性的提升，但也使得经济调度问题(EPD)转变为高度非线性、非光滑、非凸的约束优化问题，求解难度急剧增加，传统的优化方法面临挑战。

以往的研究大多聚焦于二次成本函数的EPD问题，涌现了从确定性算法（如内点法、序列二次规划）到各类元启发式算法（如粒子群优化、遗传算法、模拟退火等）乃至各种混合算法的众多解决方案。相比之下，针对三次多项式成本函数的经济调度(EPDCCFs)的研究则相对有限。一些研究尝试使用动态规划、改进的粒子群算法、分区算法等解决小规模系统（如3单元、5单元），但在处理更大规模系统或复杂约束（如计入传输损耗）时，往往存在计算量大或求解精度不足的问题。因此，开发能够高效、精确求解EPDCCFs的优化算法，对于提升电力系统运营的经济性和现实指导意义重大。

在此背景下，来自拉合尔大学电气工程系的Ghulam Abbas、Irfan Ahmad Khan、Muhammad Uzair、Zohaib Mushtaq和Muhammad Zain Yousaf等研究人员在《Franklin Open》上发表论文，深入探讨了有效集算法(Active Set Algorithm, ASA)在解决具有三次多项式成本函数的经济调度问题中的应用效能。ASA是一种经典的约束非线性优化算法，其核心思想是通过识别在最优解处起作用的约束（即有效约束），将不等式约束问题转化为一系列相对容易求解的等式约束子问题。该方法与序列二次规划(Sequential Quadratic Programming, SQP)密切相关，利用拟牛顿法迭代逼近满足KKT (Karush-Kuhn-Tucker) 条件的最优解。

本研究的主要技术方法包括：首先，构建了以三次多项式（考虑和不考虑VPL效应）表示的总燃料成本最小化为目标的优化模型，并系统纳入了功率平衡等式约束（考虑有无传输损耗两种情况，损耗采用B系数法或基于潮流计算的公式）及发电机出力不等式约束。随后，详细阐述了ASA的理论基础，包括拉格朗日函数构造、KKT最优性条件、基于二次规划(Quadratic Programming, QP)的子问题形成、以及利用BFGS方法更新Hessian矩阵近似、线搜索和效益函数等关键步骤。研究人员通过MATLAB环境实现了该算法，并在多种规模的标准测试系统上进行了广泛的仿真验证。

研究结果

1. 三单元系统（Wollenberg网络）

针对一个2500 MW负荷需求的3单元系统，ASA计算得到的总燃料成本为22728.41 $/h，低于遗传算法(GA)、并行粒子群优化(PPSO)等多种对比算法。同时，ASA仅需3.3613秒的计算时间，显著优于某些元启发式算法（如MFA需要6.7秒）。结果表明ASA在小规模问题上能快速获得优质解。

2. 三单元系统（Liang网络）含损耗分析

对另一个3单元系统（负荷1443.4 MW），在不计损耗时，ASA的成本为6640.9662 /h，优于动态规划(DP)和模拟退火(SA)。在考虑传输损耗（负荷调整为1400MW）后，ASA得到了最低的总成本6487.2977/h和最低的网损37.7309 MW，显示出其处理等式约束（功率平衡含损耗）的有效性。

3. 五单元系统

对于1800 MW负荷的5单元系统，ASA给出的最低成本为18609.69 $/h，与λ迭代法、SA等方法的结果相当或更优，且无需像元启发式算法那样进行多次随机运行，体现了确定性算法结果的一致性优势。

4. 六单元系统

在150 MW负荷的6单元系统测试中，ASA取得了2699.0387 $/h的最低成本，优于拉格朗日法、SA、量子粒子群优化(QPSO)等方法，进一步验证了其在不同规模问题上的适用性。

5. 二十六单元系统

为检验大规模问题求解能力，研究采用了26单元系统，负荷为2000 MW。ASA获得的总成本为27244.5518 $/h，低于GA、PPSO、SA等算法。即使负荷增加至2400 MW、2600 MW和2900 MW，ASA与专用算法（EEA）相比，仍能获得几乎相同甚至略低的成本，证明了其处理大规模问题的能力。收敛曲线显示，即使在26维决策变量空间，ASA也能在较少迭代次数内达到最优。

6. 十三单元系统含VPL与损耗

最后，研究挑战了一个更复杂的13单元系统，同时考虑了三次成本函数、VPL效应和传输损耗（负荷1900 MW）。ASA成功求解，总发电功率1933.7841 MW，网损33.7841 MW，最低运行成本为19324.2887 $/h。该结果显著低于细菌觅食算法(BFA)、粒子群优化(PSO)等元启发式算法的结果，凸显了ASA在处理复杂非线性、非凸问题上的强大能力。

结论与意义

本研究通过系统性的仿真实验表明，有效集算法(ASA)是一种求解基于三次多项式成本函数的经济调度问题(EPDCCFs)的高效且可靠的工具。无论是小规模还是大规模系统，无论是否考虑阀点负载效应和传输损耗等复杂约束，ASA均能表现出优异的性能：在大多数测试案例中获得了等于或优于现有元启发式算法和数值方法的解质量，同时通常具有更快的收敛速度和更短的计算时间，且无需进行多次随机试验即可获得确定性的最优解。

该研究的重要意义在于：首先，它将一种经典的、理论成熟的约束优化算法——有效集算法——成功应用于更具现实意义的三次成本函数EDP模型，为这一挑战性问题提供了新的有效解决方案。其次，研究结果挑战了“元启发式算法更擅长处理非凸非线性问题”的传统观念，表明精心设计的确定性算法在特定问题结构下同样可以表现出强大的竞争力，甚至在稳定性和计算效率方面更具优势。最后，该研究成果为电力系统调度工程师提供了除元启发式算法之外的一个有力替代选择，有助于在实际应用中实现更精确、更快速的经济调度，从而提升电力系统运行的经济效益。

未来，可以进一步探索ASA在含可再生能源（如风电、光伏）的EDP问题中的应用，或者尝试将ASA与元启发式算法结合形成混合优化策略，以期在更复杂的场景下兼顾求解的精确性、鲁棒性和计算效率。