职前数学教师在非欧几何中的归纳推理策略研究及其对数学认知的启示

《Thinking Skills and Creativity》：Strategies in the Inductive Reasoning Process related to Non-Euclidean Geometries

本研究通过评估职前数学教师（PMTs）在非欧几何（椭圆几何和双曲几何）中判断欧几里得几何命题真值的能力，深入探讨了其归纳推理（IR）过程。研究发现PMTs的表现因命题内容而异，并识别出13种IR策略，为数学教育中高阶思维技能和认知灵活性的培养提供了重要见解。

　　

研究亮点

研究设计与参与者

为回答研究问题，我们进行了一项教学实验。在设计研究的范畴内，“实验”一词意指“探索、调整和完善局部教学理论”。研究人员进行教学实验的主要目的是“亲身体验学生的数学学习和推理过程”。同样，进行教学实验的主要目的是“深入了解学生的思维和学习方式，并基于此发展理论”。本研究采用了教学实验方法，旨在深入了解职前数学教师（PMTs）在非欧几何背景下评估命题真值时的归纳推理（IR）过程。

研究发现

为回答第一个研究问题（即探究PMTs是否能评估命题在非欧几何中的真值），我们列出了PMTs答案的频率分布表。

略超过半数的PMTs能够正确评估命题S1在椭圆几何和双曲几何中的真值（分别为57和62个正确答案）。能够正确评估命题S2在双曲几何中真值的PMTs数量（81个正确答案）高于在椭圆几何中的数量。

讨论

根据结果，在椭圆几何中，正确率最低的是与平行相关的命题（S3和S4）评估。Guven和Baki（2010）提出了一个评估学生在球面几何理解水平的框架：过渡期、定义与比较期、准演绎期和演绎期。处于定义与比较期的学生应知道在球面上无法作出平行线。由于该框架的层级性，可以推断，如果学生尚未达到定义与比较期，他们在理解平行概念方面会遇到困难。本研究的结果与此一致，表明PMTs在理解非欧几何中的平行概念方面存在困难。

结论与启示

PMTs正确评估命题在椭圆几何和双曲几何中真值的能力程度因命题内容而异，但没有明确迹象表明成功与否持续与几何类型相关。研究结果表明，PMTs在线相关命题（S1和S2）上相对成功。在三角形相关命题（S5和S6）上，尽管伴随着相当数量的错误答案，但PMTs在不同几何间的表现相对均衡。