基于贝叶斯的框架，用于量化土壤本构模型中固有的不确定性

《Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering》：A Bayesian-based framework for quantifying model-inherent uncertainties in soil constitutive models

本文提出了一种基于贝叶斯的概率框架，用于量化土本构模型的固有不确定性。通过改进的最大后验估计器，将Mohr-Coulomb、Cam-Clay和Modified Cam-Clay模型转化为概率模型，并比较了常数、线性和非线性偏差系数假设下的性能。研究表明，非线性偏差假设显著提升了Modified Cam-Clay模型的预测精度和不确定性量化能力，而Mohr-Coulomb模型存在过度预测峰值偏应力等局限性。实验数据验证了该框架的有效性，为地质工程中土体行为预测提供了新方法。

　　土壤本构模型中的不确定性量化是提高预测可靠性的重要环节，同时也是一项极具挑战性的任务。传统的确定性模型通常假设土壤行为具有理想化的特性，例如线性弹性或理想塑性，这些假设在实践中往往无法准确反映土壤的真实行为，导致模型预测结果与实际观测数据之间存在较大偏差。因此，为了更全面地理解和量化这些模型中的不确定性，研究者开始探索基于贝叶斯方法的新型框架，以将这些确定性模型转化为具有概率特性的模型，从而提供更准确的预测范围和不确定性估计。这种转化不仅有助于更精确地评估模型的偏差，还能够提高模型在不同土壤条件下的适应性和可靠性。

本文提出了一种改进的贝叶斯最大后验（MAP）估计方法，通过在负对数似然函数中引入惩罚项，构建了一个新的损失函数。这种方法不仅提高了模型偏差的估计精度，还增强了模型在面对不确定性时的稳定性。为了验证该框架的有效性，研究团队使用了排水三轴试验数据，对Karlsruhe砂和White黏土两种典型土壤进行了分析。结果表明，非恒定的偏差假设能够显著提升模型的预测性能，尤其是在非线性偏差假设下，改进后的Modified Cam- Clay模型表现出最佳的预测效果。相反，Probabilistic Mohr-Coulomb模型在某些情况下显示出局限性，例如在峰值偏应力预测上过度估计，在体积应变预测上过度拟合，这说明该模型在描述复杂土壤行为方面仍有待改进。

在工程实践中，确定性模型通常依赖于总安全系数或部分安全系数来保证结构的安全性，但这些方法并未直接考虑模型本身的不确定性。因此，传统的模型校准方法，如最小二乘法，虽然能够提供一定的参数估计，但在面对不确定性和复杂性时显得力不从心。为了解决这一问题，本文提出了一种基于贝叶斯方法的框架，该框架通过引入参数不确定性、模型偏差以及观测误差的综合考虑，为土壤本构模型提供了一个更全面的不确定性量化方案。通过使用改进的MAP估计方法，模型能够在每个时间步长中更新其参数估计，从而更好地适应不同土壤行为的变化。

在对模型偏差的假设上，研究团队评估了三种类型：常数、线性和非线性偏差系数。其中，非线性偏差系数的假设表现出了最佳的不确定性量化效果，这表明土壤行为的非线性特性需要通过更灵活的偏差模型进行捕捉。相比之下，常数偏差系数的假设则未能有效反映土壤行为的复杂性，而线性偏差系数的假设虽然有所改善，但仍然无法充分描述土壤在不同应变条件下的非线性变化。因此，通过引入非线性偏差系数，可以更准确地描述土壤行为，同时减少模型预测的不确定性。

研究还指出，模型偏差的分布特性对模型性能有重要影响。通过使用Kolmogorov-Smirnov（KS）检验，团队发现，非线性偏差假设下的模型偏差更符合正态分布，从而增强了模型的可靠性。此外，研究还比较了不同模型在预测偏差和体积应变方面的表现，结果显示，非线性偏差假设下的模型在这些方面均表现出更高的准确性和更小的预测误差。例如，在预测体积应变时，非线性偏差假设下的模型能够更紧密地贴合实验数据，而线性偏差假设下的模型则表现出较大的不确定性。这种差异表明，非线性偏差模型在描述土壤复杂行为方面更具优势。

在模型参数的更新过程中，研究团队使用了Adam优化器来最小化损失函数，从而获得最优的后验参数估计。通过这种方式，模型能够在不同时间步长中不断调整其参数，以更精确地反映土壤行为的不确定性。此外，研究还探讨了不同模型参数对预测结果的影响，包括模型参数的不确定性、观测误差的不确定性以及偏差参数的不确定性。通过对比不同模型在这些参数上的表现，研究发现，非线性偏差模型在这些参数的调整上更加灵活，能够更好地适应土壤行为的变化。

研究的结论表明，基于贝叶斯方法的不确定性量化框架在描述土壤本构模型的偏差方面具有显著优势。特别是在非线性偏差假设下，模型能够更准确地捕捉土壤行为的复杂性，从而提高预测的可靠性和精度。这一方法不仅适用于Karlsruhe砂，也适用于White黏土等其他类型的土壤。然而，研究也指出，Mohr-Coulomb模型由于其固有的线性特性，仍然存在一定的局限性，特别是在预测土壤的非线性行为时。因此，未来的研究应进一步探索更先进的不确定性量化方法，如深度学习技术，以提高模型的预测能力。

本文的研究成果对于土木工程和地质工程领域的实践具有重要意义。通过引入基于贝叶斯的不确定性量化方法，工程师可以更全面地理解土壤本构模型的预测能力，并在设计过程中考虑模型本身的不确定性。这不仅有助于提高模型的预测可靠性，还能减少由于模型偏差带来的风险。此外，研究还强调了模型参数的合理选择和更新对于提高预测精度的重要性，指出非线性偏差模型在这一方面具有更高的适应性。

总之，本文提出的贝叶斯框架为土壤本构模型的不确定性量化提供了一种有效的方法。通过引入非线性偏差假设，研究团队成功地提高了模型的预测能力和不确定性估计的准确性。这一方法不仅适用于Karlsruhe砂和White黏土，还可能在其他土壤类型中得到应用。然而，对于某些模型，如Mohr-Coulomb模型，由于其固有的线性假设，仍然存在一定的局限性。因此，未来的研究应继续探索更复杂的模型结构和不确定性量化方法，以进一步提高土壤本构模型的预测性能和适用性。