巴拿赫空间诱导的正齐次函数巴拿赫格研究

《Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society》：Banach lattices of positively homogeneous functions induced by a Banach space

本文研究了由巴拿赫空间E诱导的、定义在其对偶空间E上的正齐次函数构成的各类巴拿赫格和向量格，包括FBLp[E]、Hp[E]和Hpw[E]等。作者深入探讨了这些格之间的包含关系，并利用这些关系给出了巴拿赫空间E是有限维和自反的多个特征刻画。此外，研究证明自由巴拿赫格之间的格同态总是复合算子，并系统研究了这些算子在正齐次函数格层级上的行为，揭示了巴拿赫空间几何性质与诱导格序结构之间的深刻联系。

　　

在泛函分析领域，巴拿赫格（Banach lattice）是一类兼具范数和序结构的重要空间，许多经典的分析函数空间都属于此类。从巴拿赫空间（Banach space）出发，如何构造或“诱导”出一个巴拿赫格，并理解原空间的关键几何性质如何在其诱导的格结构及其相互关系中得到体现，是一个常见且富有成效的研究思路。自由巴拿赫格（free Banach lattice）的概念是这一方向上的核心之一，最初由de Pagter和Wickstead为集合定义，后由Avilés, Rodríguez和Tradacete将其推广到由巴拿赫空间E生成的自由巴拿赫格FBL[E]。自由巴拿赫格与投射性（projectivity）概念紧密相关，在巴拿赫格范畴中推出（push-out）的构造以及解决该领域一些开放性问题中发挥了关键作用。

然而，自由巴拿赫格FBL[E]的构造通常作为一个封闭的生成子格来定义，其所在的“环境”空间——由E上的正齐次函数（positively homogeneous functions）构成的更大空间H^p[E]——本身的结构及其与FBL[E]的关系，此前并未得到系统性的研究。理解这些由同一巴拿赫空间诱导出的不同格（如FBL^p[E], H^p_w[E], J^p_w[E], I[E], I_w[E], M^p_w*,0[E]等）之间的精细包含关系，并探究这些关系何时成为等式，对于揭示巴拿赫空间E的几何性质（如有限维性、自反性）如何编码在诱导格的序结构之中至关重要。同时，自由巴拿赫格之间格同态（lattice homomorphism）的具体形式及其性质，也是一个基础而重要的问题。

为解决上述问题，Niels Jakob Laustsen和Pedro Tradacete在《Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society》上发表了他们的研究。他们系统研究了一系列由巴拿赫空间E的对偶空间E^*上正齐次函数构成的向量格和巴拿赫格。这些格以自由巴拿赫格FBL^p[E]为核心，并扩展到更大的空间H^p[E]以及其间的各种理想和闭包。研究的首要目标是厘清这些格之间的层级关系，并利用这些关系来刻画底层巴拿赫空间E的根本性质。

本研究主要依赖于泛函分析和巴拿赫格理论中的核心概念与构造方法。关键技术方法包括：利用正齐次函数空间H[E]和基于弱p可和范数（weak p-summing norm）定义的H^p[E]范数进行空间构造；通过生成子格和闭包运算定义各类子格和理想（如I[E], J^p_w[E]等）；运用对偶单位球B_E上的弱拓扑（weaktopology）来定义弱连续函数子格H_w[E]及相关对象；通过构造特定反例并结合经典巴拿赫空间理论（如Dvoretzky-Rogers定理、Krein-?mulian定理）进行分析证明；对于格同态，则系统研究其诱导的复合算子（composition operator）及其对应的正齐次映射Φ_T的性质。

格的定义与基本关系

研究首先明确定义了所考察的各类格。设E为巴拿赫空间，1 ≤ p < ∞。H[E]表示E上所有正齐次函数构成的向量空间。H^p[E]则由满足‖f‖_FBL^p[E] < ∞的f ∈ H[E]组成，其中范数‖f‖_FBL^p[E]通过考虑E中弱p可和序列的上确界来定义。自由p-凸巴拿赫格FBL^p[E]是H^p[E]中由函数集{δ_x : x ∈ E}（其中δ_x(x) = x(x)）生成的闭子格。此外，文章还定义了其他重要子格：H^p_w[E] = H^p[E] ∩ H_w[E]（H_w[E]表示E上弱连续的正齐次函数）；J^p_w[E]是H^p[E]中由H^p_w[E]生成的理想；I[E]是H[E]中由{δ_x : x ∈ E}生成的理想，而I_w[E] = I[E] ∩ H_w[E]；M^p_w,0[E]包含那些限制在B_E上在0点弱连续的H^p[E]中的函数。

文章建立了这些格之间的基本包含关系链。例如，对于固定的p，有FBL^p[E] ? H^p_w[E] ? J^p_w[E] ? M^p_w,0[E] ? H^p[E]。同时，对于由“有限和”生成的理想，有I[E] ? I_w[E] ? H^p_w*[E]。这些关系为后续的深入分析奠定了基础。

有限维空间的刻画

研究的一个核心结果是给出了巴拿赫空间E是有限维的多个等价刻画。定理3.5表明，对于1 ≤ p < ∞，以下条件等价：(a) E是有限维的；(b) FBL^p[E] = H^p_w[E]；(c) H_w[E] ? H^p[E]；(d) I[E] = H^p[E]等。特别地，当dim E ≤ 1时，所有定义的格都相等（引理3.1）。当E是维数至少为2的有限维空间时，命题3.2和推论3.6给出了更精确的描述：FBL^p[E]可以等同于单位球面S_E上的连续函数空间C(S_E)，而H^p[E]则可以等同于S_E上的有界函数空间?_∞(S_E)，并且有真包含关系FBL^p[E] = H^p_w[E] = ī_w[E] ? H^p[E] = J^p_w[E] = M^p_w,0[E]。这些结果清晰地表明，在有限维情形下，诱导格的结构大大简化，并且其类型（连续函数或有界函数）完全由E的维数决定。

无限维情形下FBL^p与ī_w的差异*

对于无限维巴拿赫空间E，文章探讨了FBL^p[E]与其闭包ī_w[E]（I_w[E]在FBL^p[E]范数下的闭包）之间的关系。定理4.3是这一部分的关键结果：如果E承认一个无限维的可分商空间（这是一个非常弱的条件，所有已知的无限维巴拿赫空间都满足），那么对于1 ≤ p < ∞，有I_w[E] ? FBL^p[E]，从而FBL^p[E] ? ī_w[E]。该定理的证明颇具技巧性，它通过引理4.4将“E承认无限维可分商空间”这一条件转化为在对偶空间E中构造具有特定性质的序列的能力，进而构造出一个属于I_w[E]但不属于FBL^p[E]的函数。这一结果强烈暗示，FBL^p[E] = ī_w*[E]可能仅当E是有限维时成立。

自反性的刻画

研究的另一个重要方面是利用诱导格的性质来刻画巴拿赫空间的自反性。定理5.5指出，对于1 ≤ p < ∞，以下条件等价：(a) E是自反的；(b) 对C(B_E)上每个正Radon测度μ，由μ通过某种上确界构造的函数f_μ^p都属于H^p_w[E]；(c) H^p[E] = J^p_w[E]；(d) J^p_w[E]在H^p[E]中稠密；(e) 对所有上述μ，f_μ^p ∈ M^p_w,0[E]。证明的关键在于利用E自反时，其对偶单位球B_E上的弱拓扑与弱拓扑一致，并结合函数f_μ^p的特定形式以及关于C(K)空间弱收敛的经典结果（定理5.3）。推论5.2则从反面说明，如果E非自反，则存在E中的元素（无法用E中的点表示）属于H^p[E]但不属于H^p_w[E]或M^p_w,0[E]，这揭示了自反性与诱导格中“点”的连续性之间的内在联系。

格同态与复合算子

文章第六部分系统研究了自由巴拿赫格之间的格同态。主要结果定理6.4指出，对于1 ≤ p < ∞ 和巴拿赫空间E, F，任何格同态T: FBL^p[E] → FBL^p[F]都可以表示为复合算子的形式：存在唯一一个正齐次映射Φ_T: F → E，使得对任意f ∈ FBL^p[E]和y ∈ F，有(Tf)(y) = f(Φ_T(y))。这个诱导映射Φ_T具有良好性质：它属于PH^p[F, E]（即它将弱p可和序列映为弱p可和序列），其PH^p范数等于T的算子范数，并且其限制在B_F上是弱到弱*连续的。这一表征定理将抽象的格同态问题转化为对具体映射Φ_T的分析。

基于这一定理，文章进一步探讨了格同态对之前定义的各类格的影响（引理6.1，6.7）。例如，复合算子C_ΦT不仅将FBL^p[E]映入FBL^p[F]，而且也将H^p_w[E], J^p_w[E], ī_w[E]等格映入相应的目标格。推论6.8表明，如果FBL^p[E]和FBL^p[F]是格同构的，那么它们所对应的整个格层级（如H^p_w[E]与H^p_w[F]，ī_w[E]与ī_w*[F]等）也都是格同构的。这为通过比较诱导格的结构来区分底层的巴拿赫空间提供了可能。

文章还研究了格同态何时由巴拿赫空间之间的有界线性算子诱导而来（命题6.18）。结果表明，这等价于诱导映射Φ_T是线性的（从而是某个算子的伴随）。示例6.19则构造了一个非线性的诱导映射，说明并非所有格同态都源于线性算子。此外，命题6.10和示例6.11展示了一些有趣的现象：存在非线性的巴拿赫空间E和F（例如，E与其超平面不同构的Gowers-Maurey空间），它们的H^p[E]和H^p[F]却是格同构的，但这种同构通常由非线性的、缺乏弱*连续性的映射诱导，从而不会导致FBL^p[E]和FBL^p[F]的同构。这突出了自由巴拿赫格相对于其环境空间H^p[E]具有更强的刚性，也引出了一个重要的开放问题：是否存在非线性的巴拿赫空间E和F，使得FBL^p[E]和FBL^p[F]是格同构的？

本研究对由巴拿赫空间诱导的正齐次函数巴拿赫格进行了系统而深入的探讨，建立了包括FBL^p[E], H^p_w[E], J^p_w[E], I[E], I_w[E]等在内的多个格之间的精细关系网。利用这些关系，研究成功地将巴拿赫空间的两个基本几何性质——有限维性和自反性——转化为诱导格结构的纯序理论特征。例如，空间E的有限维性等价于自由格FBL^p[E]与其弱连续子格H^p_w[E]的重合，而自反性则等价于整个空间H^p[E]可由其弱连续函数生成的理想逼近。这些刻画不仅具有理论美感，也提供了研究巴拿赫空间几何的新视角。

在无限维情形下，研究揭示了自由格FBL^p[E]与其环境空间H^p[E]中其他自然子格（如ī_w[E]）之间的本质差异。定理4.3表明，在很一般的条件下（E有无限维可分商），FBL^p[E]是真包含在ī_w[E]中的，这深化了我们对自由格“大小”和复杂性的认识。

对格同态的复合算子表征是另一个重要贡献。定理6.4将抽象的格同态与一个具体的、具有良好分析性质的映射Φ_T联系起来，为研究自由格之间的映射提供了强有力的工具。由此导出的结论（如推论6.8）表明，自由格的格同构会“提升”整个诱导格的层级结构，这为区分不同巴拿赫空间生成的自由格提供了潜在的判别准则。同时，研究也指出，尽管存在许多非线性的巴拿赫空间其H^p空间是格同构的（命题6.10，示例6.11），但自由格FBL^p似乎具有更强的刚性，其同构可能蕴含着底层空间的线性同构，这留下了未来研究的一个关键谜题。

总之，这项研究极大地丰富了对自由巴拿赫格及其相关结构的理解，建立了巴拿赫空间理论与巴拿赫格理论之间新的深刻联系，并为后续研究开辟了多个富有前景的方向。